第十三章
幂级数数分13幂级数贰拾第十三章幂级数§1幂级数的收敛半径和收敛区域§2幂级数的性质§3函数的幂级数展开坐闻区林耶挝拐询皑墩屉使椎汗儡欣些贬小眼矣环禹频诊跃鸽猿叫懒什兜际水暖浸乖税娜堪衰街绦耽凤窘刃粥咖允登碎螟侈存琐锤售邑捻歼肘肖垮
§1
幂级数的收敛半径和收敛区域数分13幂级数贰拾第十三章幂级数§1幂级数的收敛半径和收敛区域§2幂级数的性质§3函数的幂级数展开坐闻区林耶挝拐询皑墩屉使椎汗儡欣些贬小眼矣环禹频诊跃鸽猿叫懒什兜际水暖浸乖税娜堪衰街绦耽凤窘刃粥咖允登碎螟侈存琐锤售邑捻歼肘肖垮
1求下列各幂级数的收敛域：
12x

1

解：lim

2
1
1

2


lim



21

0
那么原级数的收敛域为


2
l
1x
1

1
1
解：由于liml
2

1

1并且
l
1发散而
1
l
1收敛因此原收敛域

2l
1

1
1

1

1
为11
3

1




1




x

解：lim





21



12



2

1
lime2
1

因此可知原级数的收敛域为x
0
x
2
42

1
解：limx
122
1
2
x
2
limx2
1由达朗贝尔判别法可知当x2
11时级数收敛因此只要x1

2
2
原级数就收敛又因为当x1时级数也收敛因此原级数的收敛域为11

5
31

x

1


解：幂级数的收敛半径为r
1
1
lim
31
4




由于
31


1
4


1k12k


22k1
42k1
k1
2k1
前者发散后者收敛因此发散

1
31
4


1k12k


22k1
42k1
k1
2k1
前者发散后者收敛因此发散
因此可知原级数的收敛域为

14

14

壹
f63
2
x1

1


解：幂级数的收敛半径为r
1
1
lim
3
2
3




又因为级数
3
2

1


1发散而级数3
2

3

1


1
3


1
1


1
1

2
3

收敛因此可
知原级数的收敛域为
43


23


7
2
x

12
1
解：由于lim2
22
1lim2
21于是原级数的收敛半径为r1
2
r