典型例题一
x2y21共渐近线且过A23，3点的双曲线方程及离心率．169
例1求与双曲线


解法一：双曲线
3x2y21的渐近线方程为：yx4169
x2y2（1）设所求双曲线方程为221ab
∵
b33，∴ba4a4
①
∵A23，3在双曲线上∴


1291a2b2
②
由①－②，得方程组无解
y2x2（2）设双曲线方程为221ab
∵
b34，∴ba3a4
③
∵A23，3在双曲线上，∴由③④得a
2


9121a2b2
④
92，b44
∴所求双曲线方程为：
y2x251且离心率e9344
解法二：设与双曲线
x2y2x2y21共渐近线的双曲线方程为：0169169
12911694
∵点A23，3在双曲线上，∴


∴所求双曲线方程为：
y2x2x2y211．，即9416944
说明：（1）很显然，解法二优于解法一．（2）不难证明与双曲线
x2y2x2y21共渐近线的双曲线方程0．169169
f一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程
x2y20求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．a2b2
（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．
典型例题二
例2作方程y
1x2的图象．
1x2分析：∵y1x2x1
2
x1x1
∴方程图象应该是圆x2y21及双曲线x2y21在x轴上方的图象．
说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C的方程是fx，y0，那么点Px0，y0在曲线C上的充要条件是fx0，y00”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．
典型例题三
例3求以曲线2xy4x100和y2x2的交点与原点的连线为渐近线，且
222
实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．
22x3x322xy4x100解：∵2，∴或，∴渐近线方程为yx3y2y2y2x2
当焦点在x轴上时，由
b2且a6，得b4．a3
x2y21∴所求双曲线方程为3616
当焦点在y轴上时，由
a2，且a6，得b9．b3
f∴所求双曲线方程为
y2x213681
说明：（1）“定量r