数是2如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2为钝角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是3如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2为锐角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是
2
f例3：已知F1、F2是椭圆
xa
22

yb
22
1ab0的两个焦点，椭圆上一点P
使F1PF290，求椭圆离心率e的取值范围。法一：
法二：
例4：已知椭圆
xa
22

yb
22
1ab0的两焦点分别为F1F2若椭圆上存在一点P使得
F1PF2120求椭圆的离心率e的取值范围。
0
例5：若椭圆
x
2

y
2
4
3
1的两个焦点F1、F2，试问：椭圆上是否存在点P，
使F1PF290？存在，求出点P的纵坐标；否则说明理由。方法一：
方法二：
3
f性质四：已知椭圆方程为
xa
22

yb
22
1ab0两焦点分别为F1F2设焦点三角形PF1F2，si
si
si

PF1F2PF2F1则椭圆的离心率e
。
证明：
练习1：P是椭圆
xa
22

yb
22
1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知PF1F2PF2F12
F1PF23椭圆的离心率为e___________．
练习2：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若PF1F215PF2F175，则椭圆的离心率为___________．


性质五：过椭圆焦点的所有弦中通径垂直于焦点的弦最短，通径为
ya
22
2ba
2
。
例1：已知椭圆C1：椭圆C1的方程。

xb
22
1ab0的右顶点为A10，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．求
4
2
f【课堂测试】1已知P是椭圆
x
2

y
2
25
16
1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230，求PF1F2的面积。xa
22
2（2009年上海文）已知F1、F2是椭圆C

yb
22
1ab0的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且
PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b
9）
3椭圆A
y
2

x
2
49
24
1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为（
20
xa
22
B22
y
2
C28
D24
4．已知椭圆
1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，则
PF1PF2的值为（
）A．1
B．
13
C．
43
D．
23
5椭圆
x
2
y
2
4
1的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，PF1PF2的
2
值为（
x
2
）
A0
B2
C4
D
6椭圆值为（7椭圆
y
2
4
1的左右焦点为F1、F2，r