圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学200071）
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MPMQ证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系设圆锥曲线的方程为Ax2BxyCy2DxEyF0，设A（0，t），B（0，t），知t，t是Cy2EyF0的两个根，所以E0
yC
若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）F（x4k2x4），P（0，p），Q（0，q），
E
AP
MxQF
CEy
k2x3k1x1kxkxxxkk2同理xx1k1x1p23110x1k1x1131x3x1x3x1x3x1
D
B
图1
q
kk2x3x4x1x2x1x2x3x4x2x4k1k2所以pq1x4x2x4x2x3x1
将yk1x代入得ABk1Ck1x2DEk1xF0
2
又E0得x1x2
DABk1Ck1
2

x1x2
FABk1Ck1
2
同理x3x4
D2ABk2Ck2
x3x4
FABk2Ck2
2
，所以pq0，即MPMQ
注2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MPMQ证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系设圆锥曲线的方程为AxBxyCyDxEyF0，设A
22
y
AC
（x1y1），B（x1y2），则切线MA的方程是MB的方程是
DEx1y1F0，切线22
DQMPEBF
DEx1y2F0，得Ey1y20，所以E0（下22
面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线
图2
x
x2y21的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：a2b2
a2x上特别的，当M为焦点时，l就是准线当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线m
f证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得
MPMQ
y
过Gr