rdGrrrGrrdSi
i
此时求和仅对于研究体系的内的含源电荷边界面积分求和。4．具体问题
（17）
10987
r1
65432108264200
rr2
46
8
讨论空间中有两个导体，研究空间是两个导体边界以及边界以外，无穷远边界面以内的空间，空间介质的介电常数为，要证明格林互易定理，简化成的模型为：1）第一个状态：在导体2上放电荷q2，导体1不放电荷，此时两个导体的电势分别为12，记此状态为：0q2122）第二个状态：在导体1上放电荷q1，导体2不放电荷，此时两个导体的电势分别为
12，记此状态为：q1012
格林互易定理得到：q11q22



现用格林函数解法来证明以上。对于静电平衡的导体，是等势体，所以，式中的对内表面的面积分可化为：
rrGrr
r
GrrdSiGrr
dSii
GrrdSiirGrrdSi18
式中i12，第i表面是含源的。而第二项被积函数也可理解成r处的单位源电荷（在观察
f点上）对r处的面上产生的场强的梯度（即诱导产生的面电荷密度），在这种条件下，面上本身不带电荷，故面电荷密度面积分一定为零，故得到（18）式。对整个表面的电场强度（矢量）求积分和为零。所以，研究空间中任一点的电势可表为：

rrGrrrdGrrdSi

（19）i12，i含源。
物理意义为：空间任意一点的电势是由空间体电荷和导体表面的源电荷（人放上去的而不是被诱导出来的）贡献的电势之和。考虑以上两个状态，空间无自由体电荷，第一个状态：上式（19）又可化为：
rr2rGrrdSiGrr2dS2Grr22r2dS2
2
即空间电势仅由自由面电荷贡献。有：11r1Gr1r22r2dS2第二个状态：
（20）




rr1rGrrdSiGrr1dS1Grr11r1dS1（21）
1
有：22r2Gr2r11r1dS1处理得到：





1r