讲座三角形内的三角函数问题
○知识梳理
1内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不
能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余
ABCsi
ABsi
Csi
ABcosC
2
2
锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方
ABabsi
Asi
B，ABC成等差数列B60
2正弦定理：
asi
A

bsi
B

csi
C

2RR
为三角形外接圆的半径
注意：①正弦定理的一些变式：
iabcsi
Asi
Bsi
C；
iisi
Aasi
Bbsi
Cc；
2R
2R
2R
iiia2Rsi
Ab2Rsi
Bb2Rsi
C；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
3余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb2c2a2等，常选用余弦定理鉴定2bc
三角形的形状
4面积公式：
S

12
aha

12
bhb

12
chc
1absi
C1bcsi
A1casi
B
2
2
2
1a2si
Bsi
C1b2si
Csi
A1a2si
Asi
B
2si
A2si
B2si
C

12
ra

b

c

ppapbpc
（其中r为三角形内切圆半径pabc）2
5射影定理：
a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋ccosA．
特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实
现边角互化。
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f○浙江真题
1．（2010年（18））在△ABC中角A、B、C所对的边分别为abc，已知cos2C14
I求si
C的值；Ⅱ当a2，2si
Asi
C时，求b及c的长．
2．（2011（18））在ABC中，角ABC所对的边分别为a，b，c，已知
si
Asi
Cpsi
BpR且ac1b2
4（Ⅰ）当p5b1时，求ac的值；
4Ⅱ若角B为锐角，求p的取值范围。
3．（12年样卷）18在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ta
A＋B＝2．wwwzxsxcom
Ⅰ求si
C的值；Ⅱ当a＝1，c＝5时，求b的值．
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f○例题分析【例1】2011年高考陕西卷理科18（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理
【例2】2011年高考湖南卷理科17（本小题满分12分）
在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csi
AacosC
求角C的大小；求3si
AcosB的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小
4
【例3】已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4求四边形ABCD的面积
【r