学业分层测评
建议用时：45分钟学业达标一、选择题1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①abc－cab＝0；②a＝aa；③a2b＝b2a；④3a＋2b3a－2b＝9a2－4b2其中正确的有A．①②C．③④B．②③D．②④
【解析】由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，a2b＝b2a不一定成立，④运算正确．【答案】D
2．已知a＋b＋c＝0，a＝2，b＝3，c＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝B．45°D．以上都不对
A．30°C．60°
【解析】∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a＋b2＝a2＋b2＋3ab12ab＝c2，∴ab＝2，∴cos〈a，b〉＝＝ab4【答案】D
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是
f→与BD→APC→与AB→CPD
→与PB→BDA→与CD→DPA
【解析】用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故→CD→＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所PA→→＝0，→→以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故DAPB排除B，同理PDAB＝0，排除C
【答案】
A
4如图3125，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
图3125→AC→A．2BA→AC→C．2FG→DB→B．2AD→CB→D．2EF
→AC→＝－a2，故A错；2AD→DB→＝－a2，故B【解析】2BA→CB→＝－1a2，故D错；2FG→AC→＝AC→2＝a2，故只有C正错；2EF2确．【答案】C
f5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：→＋AD→＋AB→2＝3AB→2；①AA1→→→②A1CA1B1－A1A＝0；→与A→③AD11B的夹角为60°其中正确命题的个数是A．1个C．3个【解析】为120°【答案】B二、填空题6．已知a＝2，b＝3，〈a，b〉＝60°，则2a－3b＝________．【解析】2a－3b2＝2a－3b2＝4a2－12ab＋9b2【导学号：18490091】B．2个D．0个→与A→由题意知①②都正确，③不正确，AD11B的夹角
＝4×a2＋9×b2－12×abcos60°＝61，∴2a－3b＝61【答案】61
7．已知a＝2，b＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
（λa－2b）0，（a＋λb）【解析】由题意知cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1（a＋λb）（λa－2b）0，即（λa－2b）≠－a＋λbλa－2b（a＋λb）
得λ2＋2λ－20
f∴－1－3λ－1＋3【答案】－1－3，－1＋38如图3126，已知正三棱柱ABCAr