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导数运用中的易错点
作者：陆凯来源：《中学课程辅导高考版教师版》2011年第11期
摘要：导数在求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程等数学问题时较为方便，他作为工具成为高考的热点。但学生在求过某点的切线方程、利用导函数判定函数单调性以及极值点与导数为零等导数的应用存在误区。
关键词：导数；易错点
中图分类号：G427文献标识码：A文章编号：19927711（2011）1105102
导数是高中数学选修内容中较为重要的知识点，它作为一种工具，在解决数学问题时较为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，因此，导数及其运用已成为高考的新热点。但是笔者在教学过程中，发现学生对导数的应用还存在一些误区。
一、求过某点曲线的切线方程
【例】求过点P（2，2）且与曲线
－1x0相切的切线方程。
【错解】解：令
－
∴
∴切线的斜率
∴切线方程为y－24x－2，即4x－y－60。
【错解分析】若点
在曲线上，点P必为切点，P点处的切线斜率
；
若点P不在曲线上，点P不是切点，过P点的切线斜率不一定是
。两种情况求法有所
不同，故不能混淆，因此求过某点曲线的切线方程应该先判断点是否在曲线上。
【正解】令
－1x0，则f′x2x设所求切点为
∵点Q在曲线
－1x0上，∴
1①，又点Q是切点，
∴切线的斜率
又
－－2，∴
－－2②
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联立①②解之：Q点坐标为（1，0）时，k2；Q点坐标为（3，8）时，
∴切线方程为y2x－1或y－86x－3即2x－y－20或6x－y－100。
二、导函数的符号与函数单调性之间的关系
【例】已知函数
－x1在R上是减函数，求a的取值范围。
【错解】解：∵
－
∴
－
∵函数
－x1在R上是减函数
∴
－1
（1）当a0时f′x6x－1
（2）
综上所述：a
【错解分析】解题过程中误认为在某一区间内f′x0）是函数fx在该区间上为减（或
增）函数的充要条件，事实上是充分条件。例如：
是R上的可导函数，也是－∞∞
上的单调递增函数，但当x0时，f′x0。
【正解】
－1≤0在－∞∞上恒成立。（1）当a0时f′x6x－1≤0在－
∞∞上不恒成立，不合，舍去。（2）
－3综上所述：a≤－3。
三、求函数单调区间时将单调区间合并写
【例】求函数yx1x的单调区间。
【错解】解：∵
∴函数的定义域为－∞0∪
∴y′1－
当y′≥0时，x∈－∞－1］∪［1∞；当y′≤0时，x∈［－10∪01］
∴函数yx1x的单调递增区间是－∞－1］∪［1∞，r