求数列通项公式的常用方法
摘要：高中数学的学习，由于时间紧，任务重，因此，在学习中，我们要帮助学生构建知识体系，梳理基础知识，要注重培养学生知识结构的整体性和综合性，帮助学生总结规律，并加以灵活的运用。
关键词：数列；通项公式；灵活运用
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比
较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结了
以下九种求数列通项公式的常用方法：
1、观察法2、定义法3、公式法4、累加法5、累乘法6、迭代法
7、化归法8、分
奇偶讨论法9、待定系数法（构造法）
一、观察法
观察各项的特点，观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不
变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式
关键是找出各项与项数
的关系
例1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…a
10
1
212342345
a


1
1


1
二、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知
数列类型的题目．
例2、设等差数列｛a
｝满足a35a109求数列｛a
｝的通项公式
解：由a
a1
1d及a35a109得
aa11

2d9d

59
d2a19a
112

例
3．等差数列a
是递增数列，前


项和为S

，且
a1
a3
a9成等比数列，S5

a
25
．求
数列a
的通项公式
f解：设数列a
公差为dd0
∵
a1
a3
a9
成等比数列，∴
a
23

a1a9，
即a12d2a1a18d，得d2a1d∵d0，∴a1d
∵S5a52
∴5a1

5
2
4

d

a1

4d2
由①②得：a1

35
，
d

35
∴a


3
13
5
5

3
5
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。三、公式法
若已知数列的前
项和S
与a
的关系，求数列a
的通项a
可用公式
a


SS



1S
1
2
求解要注意对


分类讨论，但若能合写时一定要合并
例4．已知数列a
的前
项和S
满足S
2a
1
1，求数列a
通项公式
解：由a1S12a11得a11
当
2时，有a
S
S
12a
a
121

a
2a
121
1
a
12a
221
2……，a22a12
a
2
1a12
112
21221
1
2
11
2
12
222
11
212
1
322
21
1
3
经验证
a1
1
也满足上式，所以
a


22
23
1
1
四、累加法求形如a
a
1f
（f
为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，
f可用累加法，r