初中数学竞赛：比较大小
【内容提要】1．比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当a－b＞0时，a＞b；当a－b＝0时，ab；当a－b＜0时a＜b。2．通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。3．需要讨论的可借助数轴，按零点分区。4．实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如a－b2≥0，－a2≤0，a21＞0，－（a2a2）＜0a2a1a
123＞024
当a≠b时，－（a－b）2＜0
【例题】例1试比较a3与a的大小
解：a3－aaa1a－1a3－a0即a3a以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：当a＜－1时，a1＜0a＜0a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0当－1＜a＜0时a＜0a－1＜0（2个负因数）∴a3－a＞0当0＜a＜1时，a－1＜0（1个负因数）当a＞1时，没有负因数，综上所述当a0－1，1时，a3a当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。（试总结符号规律）∴a3－a＜0∴a3－a＞0即a3＜a即a3＞a即a3＜a即a3＞a
例2
什么数比它的倒数大？
f解：设这个数为x，则当并且只当x－
1＞0时，x比它的倒数大，x
－101
x－
x21x1x11＝xxx
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。
例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用行，乙全程骑自行车，问先到达？解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是
xx5xt甲＝22，4yy8y
t甲－t乙＝
t乙＝
x4y
∴t甲－t乙＞0
5xx3x8y4y8y
∵x＞0，y＞0
答：乙先到达B地
例4己知a≠b≠c，求证：a2b2c2＞abbcca证明：a2b2c2－abbcca＝
1×2（a2b2c2－abbcca）21＝（2a22b22c2－2ab2bc2ca）21＝［（ab）2bc2ca2］2
∵a≠b≠c，（ab）2＞0，bc2＞0，ca2＞0∴a2b2c2＞abbcca又证：∵a≠b，∴（ab）2＞0同理b2c2＞2bc2a2b2＞2ab1c2a22ca3
123得2a22b22c2＞2ab2bc2ca即a2b2c2＞abbcca
例5比较3（1＋a2a4）与1aa22的大小解：3（1＋a2a4）－1aa22＝3［（1＋aa2）22a2a22a3］－1aa22＝21aa22－6a1＋aa2
f21＋aa21＋aa23a21＋aa21a2∵1＋aa2＝（
13ar