，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝675°，BD＝DC．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°－∠BAC＝45°，∴∠EBC＝225°．在△ABE中，∵∠ABE＝∠A，∴AE＝BE，而BE＜BC，∴AE＜BC，AE≠2EC．∵∠ABE＝2∠EBC，∴劣弧AE是劣弧DE的2倍．因此正确结论的序号是①②④．（3）已知⊙O的半径等于5cm，弦AB＝6cm，CD＝8cm，且AB∥CD，则AB、CD之间的距离为__________．
AOCFAE①DBCEOF②DB
解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB与CD位置有两种，如图①和②．在图①中，11连接OA、OC，作OF⊥CD于F，交AB于E，则AE＝AB＝3（cm），CF＝CD＝4（cm），22由勾股定理得OE＝OA2－AE2＝52－32＝4，OF＝OC2－CF2＝52－42＝3，所以EF＝OE－OF＝4－3＝1（cm），同理在图②中，EF＝OE＋OF＝4＋3＝7（cm）．故AB、CD之间的距离为1cm或7cm．例3如图所示，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交CB于D，连接AC．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CB＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
AOCEDB
解：（1）不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②BD＝CD；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BCOE；⑨△BOD是等1腰三角形；⑩△BOE∽△BAC等等．（注：BE＝CE与BC＝2BE或CE＝BC是同一类型，2以上任取两个类型结论即可）1（2）∵OD⊥CB，∴BE＝CE＝CB＝4．2设圆半径等于R，则OE＝OD－DE＝R－2，
f在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE2＋BE2＝OB2，即（R－2）2＋42＝R2，解得R＝5，∴⊙O的半径为5．评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解．例4如图所示，A是以BC为直径的⊙O上的一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF＝EF；（2）求证：PA是⊙O的切线．
EFGPBDOCA
证明：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，BFCFEFCFBFEF∴＝，＝，∴＝，DGCGAGCGDGAG∵G是AD的中点，∴DG＝AG，∴BF＝EF．
EFGPBDOCA
（2）连接AO、AB．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．在Rt△BAE中，由（1）知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF．∴∠FBA＝∠FAB．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°，∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．评析：证明一直线是圆的切线r