热点探究课三数列中的高考热点问题
命题解读数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题全国卷T17交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点1等差、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差比数列共涉及五个量a1，a
，S
，dq，
，“知三求二”．
12016天津高考已知a
是等比数列，前
项和为S
∈N，且a－
1
12a2＝a3，S6＝631求a
的通项公式；2若对任意的
∈N，b
是log2a
和log2a
＋1的等差中项，求数列－1
b2
的前2
项和．解1设数列a
的公比为q
111
112由已知，有a－aq＝aq2，解得q＝2或q＝－12分1－q6又由S6＝a1＝63，知q≠－1，1－q1－26所以a1＝63，得a1＝11－2所以a
＝2
－15分12由题意，得b
＝2log2a
＋log2a
＋1
1
f11－＝2log22
1＋log22
＝
－2，1即b
是首项为2，公差为1的等差数列8分设数列－1
b2
的前
项和为T
，则
22222T2
＝－b21＋b2＋－b3＋b4＋＋－b2
－1＋b2
平方差公式得：
＝b1＋b2＋b3＋b4＋＋b2
－1＋b2
＝2
b1＋b2
＝2
210分21若a
是等差数列，则ba
b0，且b≠1是等比数列；若a

规律方法
是正项等比数列，则logba
b0，且b≠1是等差数列．2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．对点训练1已知数列a
的前
项和为S
，常数λ0，且λa1a
＝S1＋S

对一切正整数
都成立．1求数列a
的通项公式；
12设a10，λ＝100当
为何值时，数列lga的前
项和最大？

解
1取
＝1，得λa21＝2S1＝2a1，a1λa1－2＝0
若a1＝0，则S
＝0当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝0－0＝0，所以a
＝0
≥12分2若a1≠0，则a1＝λ22当
≥2时，2a
＝λ＋S
2a
－1＝λ＋S
－1，两式相减得2a
－2a
－1＝a
，所以a
＝2a
－1
≥2，从而数列a
是等比数列，所以a
＝a12
－1
2
－12
＝λ2＝λ
2
综上，当a1＝0时，a
＝0；当a1≠0时，a
＝λ5分12当a10，且λ＝100时，令b
＝lga，

2
f100由1知，b
＝lg2
＝2－
lg27分所以数列b
是单调递减的等差数列，公差为－lg2100100b1b2b6＝lg26＝lg64lg1＝0，100100当
≥7时，b
≤b7＝lg27＝lg128lg1＝0
r