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热点探究课三数列中的高考热点问题
命题解读数列在中学数学中既具有独立性,又具有较强的综合性,是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,从近五年全国卷高考试题来看,解答题第1题全国卷T17交替考查数列与解三角形,本专题的热点题型有:一是等差、等比数列的综合问题;二是数列的通项与求和;三是数列与函数、不等式的交汇,难度中等.热点1等差、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题,关键是理清两种数列的项之间的关系,并注重方程思想的应用,等差比数列共涉及五个量a1,a
,S
,dq,
,“知三求二”.
12016天津高考已知a
是等比数列,前
项和为S
∈N,且a-
1
12a2=a3,S6=631求a
的通项公式;2若对任意的
∈N,b
是log2a
和log2a
+1的等差中项,求数列-1
b2
的前2
项和.解1设数列a
的公比为q
111
112由已知,有a-aq=aq2,解得q=2或q=-12分1-q6又由S6=a1=63,知q≠-1,1-q1-26所以a1=63,得a1=11-2所以a
=2
-15分12由题意,得b
=2log2a
+log2a
+1
1
f11-=2log22
1+log22

-2,1即b
是首项为2,公差为1的等差数列8分设数列-1
b2
的前
项和为T
,则
22222T2
=-b21+b2+-b3+b4++-b2
-1+b2
平方差公式得:
=b1+b2+b3+b4++b2
-1+b2
=2
b1+b2
=2
210分21若a
是等差数列,则ba
b0,且b≠1是等比数列;若a

规律方法
是正项等比数列,则logba
b0,且b≠1是等差数列.2.对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系,以便实现等差、等比数列之间的相互转化.对点训练1已知数列a
的前
项和为S
,常数λ0,且λa1a
=S1+S

对一切正整数
都成立.1求数列a
的通项公式;
12设a10,λ=100当
为何值时,数列lga的前
项和最大?


1取
=1,得λa21=2S1=2a1,a1λa1-2=0
若a1=0,则S
=0当
≥2时,a
=S
-S
-1=0-0=0,所以a
=0
≥12分2若a1≠0,则a1=λ22当
≥2时,2a
=λ+S
2a
-1=λ+S
-1,两式相减得2a
-2a
-1=a
,所以a
=2a
-1
≥2,从而数列a
是等比数列,所以a
=a12
-1
2
-12
=λ2=λ
2
综上,当a1=0时,a
=0;当a1≠0时,a
=λ5分12当a10,且λ=100时,令b
=lga,

2
f100由1知,b
=lg2
=2-
lg27分所以数列b
是单调递减的等差数列,公差为-lg2100100b1b2b6=lg26=lg64lg1=0,100100当
≥7时,b
≤b7=lg27=lg128lg1=0
r
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