D题（抢渡长江）参考答案
高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）
抢渡长江）D题（抢渡长江）参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
设竞渡在平面区域进行且参赛者可看成质点沿游泳路线xtyt以速度utucosθt，si
θt前进，其中游u速大小u不变。要求参赛者在流速vtv0给定的情况下控制θt找到适当的路线以最短的时间T从起点00游到终点LH，如图1。这是一个最优控制问题
yH
u
Mi
Tdxucosθtvx00xTLstdtdyusi
θty00yTHdt
θ
v
0图1
L
x
可以证明，若θt为连续函数则θt等于常数时上述问题有最优解。证明见GeorgeLeitma
TheCalculusofVariatio
sa
dOptimalCo
trolPle
umPress1981pp130135p263Exercise1513（注：根据题意，该内容不要求同学知道。）1设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令utucosθ，si
θ，而流速uvtv0，其中u和v为常数θ为游泳者和x轴正向间的夹角。于是游泳者的路线xtyt满足
dxdtucosθvx00xTLdyusi
θy00yTHdt
T是到达终点的时刻。令zcosθ，如果1有解则
（1）
xtuzvtLTuzvytu1z2tHTu1z2
即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且
（2）
T
LHH2L2uzvu1z2u22uzvv2
（3）
若已知LHvT由（3）可得
z
LvTHLvT
22
u
LvTzT
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（4）
fD题（抢渡长江）参考答案
由（3）消去T得到
Lu1z2Huzv
给定LHuv的值，z满足二次方程
（5）
（H2L2u2z22H2uvzH2v2L2u20
（6）的解为
（6）
zz1，2
H2v±LH2L2u2H2v2H2L2u
（7）
方程有实根的条件为
u≥v
HH2L2
（8）
为使（3）表示的T最小，由于当Luv给定时
dT0，所以7中z取较大的根dz
即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表为
T
H2L2u2H2v2Lvu2v2
（9）
以H1160mL1000mv189ms和第一名成绩T848s代入，z0641即（4）得0θ1175，u154ms。以H1160mL1000mv189ms和u15ms代入（7）（3），，得z0527即θ0122，T910s，即15分10秒。2游泳者始终以和岸边垂直的方向y轴正向）即z0由（游（3）TLr