首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）
一、填空题（每小题5分，共20分）
yxyl
1xdxdy____________，其中区域D由直线xy1与两1．计算∫∫D1xy
坐标轴所围成三角形区域解令xyuxv，则xvyuv，dxdydet1
0
1dudvdudv，1
yxyl
1ul
uul
vx∫∫D1xydxdy∫∫D1ududv
uul
uuudvl
vdvdu01u∫01u∫021ul
uuul
uu∫du01u1u
∫
1
∫
2
1
0
u2du1u
（）
224
令t1u，则u1t，du2tdt，u12tt，u1ut21t1t，
2∫12t2t4dt
1
0
2∫
10
116212ttdt2tt3t550153
24
1
2．fx是连续函数，设且满足fx3x2解令A
2
∫
20
fxdx2则fx____________
∫
20
fxdx，则fx3x2A2，
A∫3x2A2dx82A242A
0
解得A
4102。因此fx3x33x2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________2
3．曲面z
x2解因平面2x2yz0的法向量为221，而曲面zy22在2x0y0处的法向量为zxx0y0zyx0y01，故zxx0y0zyx0y01与
221平行，因此，由zxx，zy2y知2zxx0y0x02zyx0y02y0，
又于是曲面2x2yz0在x0y0zx0y0即x02y01，zx0y0z211，
f处的切平面方程是2x22y1z10，即曲面z
x2y22平行平面2
2x2yz0的切平面方程是2x2yz50。
4．设函数yyx由方程xe则
fy
eyl
29确定，其中f具有二阶导数，且f′≠1，
d2y________________dx2
解法1方程xe
fy
eyl
29的两边对x求导，得
efyxf′yy′efyeyy′l
29
即
1f′yy′xefyy′eyl
29x11yfy因el
29xe≠0，故f′yy′y′，即y′，因此xx1f′y
d2y1f′′yy′y′′22dxx1f′yx1f′y2f′′y1f′′y1f′y22x1f′y3x21f′yx21f′y3
解法2方程xe
fy
eyl
29取对数，得fyl
xyl
l
291y′x
（1）（2）（3）
方程（1）的两边对x求导，得f′yy′即y′
1x1f′y
2
方程（2）的两边对x求导，得f′yy′′f′′yy′将（3）代入（4），得
1y′′x2
（4）
f′yy′′
将左边的第一项移到右边，得
f′′y12y′′22x1f′yx
f′′y1f′y2y′′1f′yx2r