等差数列性质总结
1等差数列的定义式：a
a
1d（d为常数）（
2）；2．等差数列通项公式：
a
a1
1dd
a1d
N
，首项a1，公差d，末项a

推广：a
am
md．3．等差中项
从而da
am；
m
（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或2Aab
2
（2）等差中项：数列a
是等差数列2a
a
1a
1
2
N2a
1a
a
2
4．等差数列的前
项和公式：
S


a1a
2


a1


1d2

d2

2
a1

1d
2

A
2
B

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S
是关于
的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2
1时，a
1是项数为2
1的等差数列的中间项
S2
1

2

1a1
2

a2
1


2

1
a
1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间
项）
5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若a
a
1d或a
1a
d常数
Na
是等差数列．（2）等差中项：数列a
是等差数列2a
a
1a
1
22a
1a
a
2．⑶数列a
是等差数列a
k
b（其中kb是常数）。（4）数列a
是等差数列S
A
2B
（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a
a
1d或a
1a
d常数
Na
是等差数列
等差中项性质法：2a
a
1a
1
2，
N．7提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
和公式中，涉及到5个元素：a1、d、
、a
及S
，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a
a1
1d②奇数个数成等差，可设为…，a2dadaada2d…（公差为d）；
③偶数个数成等差，可设为…，a3dadada3d…（注意；公差为2d）
8等差数列的性质：
（1）当公差d0时，
等差数列的通项公式a
a1
1dd
a1d是关于
的一次函数，且斜率为公差d；
前

和
S


a1


12
d

d2

2

a1

d
2
是关于

的二次函数且常数项为
0
（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。
（3）当m
pq时则有ama
apaq，特别地，当m
2p时，则有ama
2ap注：a1a
a2a
1a3a
2，
（4）若a
、b
为等差数列，则a
b，1a
2b
都为等差数列
1
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f5若a
是等差数列，则S
S2
S
S3
S2
，…也成等差数列
（6）数列a
为等差数列每隔kkN项取出一项amamkam2kam3k仍为等差数列
（7）设数列a
是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，S
是前
项
的和
。当项数r