231平面向量基本定理
学习目标1理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义2在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量3会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题
知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案能依据是数乘向量和平行四边形法则思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示梳理1平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e22基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二两向量的夹角与垂直思考1平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案存在夹角，不一样思考2△ABC为正三角形，设A→B＝a，→BC＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则B→D＝a，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°梳理1夹角：已知两个非零向量a和b，作O→A＝a，→OB＝b，则∠AOB＝θ0°≤θ≤180°叫做向量a与b的夹角如图所示

f
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向2垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b
类型一对基底概念的理解
例1如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是①λe1＋μe2λ，μ∈R可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对λ，μ有无穷多个；③若向量λ1e1＋μe12与λ2e1＋μe22共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λλ2e1＋μ2e2；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0A①②B②③C③④D②
答案B
解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底
下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B
反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平
面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底r