】已知抛物线Cy2mxm0过点
12，P是C上一点，斜率为1的直线l交C于不同两点AB（l不过P点），且PAB的重心的纵坐
标为23
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线PAPB的斜率分别为k1k2，求k1k2的值
【答案】（1）方程为y24x其焦点坐标为10（2）k1k20
【解析】试题分析（1）将12代入y2mx，得m4，可得抛物线C的方程及其焦点坐标；
（2）设直线l的方程为yxb，将它代入y24x得x2（2b2）xb20，利用韦达定理，结合斜
率公式以及
PAB
的重心的纵坐标

23
，化简可
k1

k2
的值；
3
f因为PAB的重心的纵坐标为2，3
所以y1y2yp2，所以yp2，所以xp1，
所以k1
k2

y12x11

y2x2
21

y1
2x2x1
1y22x11x21
1
，
又y12x21y22x11
x1b2x21x2b2x11
2x1x2b1x1x22b2
2b22b1b22b20
所以k1k20
4．已知椭圆
C

x2a2

y2b2
1a
b0的短轴端点到右焦点F1，0的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x4于点P，若PA1AF，
PB2BF，求证：12为定值．
【答案】1x2y212详见解析43
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关
于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明
（Ⅱ）由题意直线AB过点F10，且斜率存在，设方程为ykx1
将x4代人得P点坐标为43k，
ykx1
由x2y21，消元得34k2x28k2x4k2120，43
设Ax1y1，
B

x2

y2

，则


0
且

x1x1

x2

8k234k2

x2

4k23
124k2
，
方法一：因为
PA1
AF
，所以1
PAAF

x141x1

同理2
PBBF

x241x2
，且x14与x24异号，1x11x2
所以
12

x14x241x11x2

2


1
3x1
31x2

4
f23x1x22x1x2x1x21
38k268k2
24k2128k234k20所以，12为定值0
当x11x2时，同理可得120所以，12为定值0
5
f同理2
PBBF

my23，且my13与my23异号，
my2
my1
my2
所以12

my13my23
my1
my2

23y1y2
my1y2

36m2m9
0
又当直线AB与x轴重合时，120，所以，12为定值0【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x或y的一
元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点F10，在设方程时，往往设为xmy1m0，可减少讨论该直线是否存在斜率
5．【四川省绵阳南山中学20172018学r