一、子群定义：给定群G，⊙及非空集合HG，若H，⊙是群，则称H，⊙为群G，⊙的子群。显然，e，⊙和G，⊙都是G，⊙的子群，并且分别是G，⊙的“最小”和“最大”的子群。（P263定义1361）性质：1群与其子群具有相同的幺元（P263定理1361）2H，⊙是G，⊙的子群H对于运算⊙是封闭的。（P264定理1364）
二、循环群定义：设G，⊙是群，若g∈G，对x∈G，k∈Z，有xgk，称G，⊙是循环群，记作Gg，称g是群G，⊙的生成元。（P263定义1356）
若存在最小正整数
，ge，称
为生成元的阶或周期；否则称g是无限阶的。根据生成元g的阶，将循环群分成两类：一是有限循环群，二是无限循环群。于是若Gg02
1且g的阶为
，则Gge，g，g，…，g，即Gg
，否则，Gg0e，g±1，g±2，…，有g＝G∞。例如，可以验证，60°就是群R，★的生成元。其中R＝0°60°120°180°240°300°，★是R上的二元运算，且对于R中任意两个元素a和b，a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。因此，群R，★是循环群。而Z，是无限循环群，其生成元是1和1。对于循环群的生成元可能不只一个，如何求出它的所有生成元呢？看下面结论。定理：设G，⊙是以g为生成元的循环群，①若G，⊙是无限循环群，则群G，⊙只有两个生成元，即g和g1。②若G，⊙是
阶循环群，则群G，⊙含有φ
个生成元，对于任何小于等于
且与
互素的正整数p，gp是生成元。（P262定理1356）其中，φ
是欧拉函数，它表示小于或等于
且与
互质的正整数的数。如φ11，φ21，φ32，φ42，φ54，φ62，φ76，φ84，φ96，当p是素数时，…。显然有，φpp1。（P194）例：设Ga是14阶循环群，求出G的所有生成元和G的所有子群。1）G的所有生成元是：a，a3，a5，a9，a11，a13。2）G的所有子群为：e⊙，e，a2，a4，a6，a8，a10，a12⊙，e，a7⊙及G本身，共4个。注：确定已知群的全部子群，一般来说是很困难的，但从此例可以看到，对于循环群而言，却是容易办到的。定义1231设X，⊙与Y，○是同类型的。称X，⊙同态于Y，○或Y，○为X，⊙的同态象，记为X，⊙Y，○，其定义如下：X，⊙Y，○ff∈YX∧x1x2x1x2∈X→fx1⊙x2fx1○fx2同时，称f为从X，⊙到Y，○的同态映射（p234）定义1233设X，⊙与Y，○是同类型的。称X，⊙同构于Y，○，记为X，⊙≌
fY，○，其定义如下：X，⊙≌Y，○r