2013年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．设集合A2013，集合BxxA2为____________．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y24x上，满足OAOB4，F是
x2A．则集合B中所有元素的和
抛物线的焦点则SOFASOFB
_____________
3．在ABC中，已知si
A10si
Bsi
CcosA10cosBcosC，则ta
A的值为______4．已知正三棱锥PABC底面边长为1，高为2，则其内切球半径为________5．设ab为实数，函数fxaxb满足：对任意x01，有fx1则ab的最大值为_____________6．从1220中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________7．若实数xy满足x4y2xy，则x的取值范围是____________8．已知数列a
共有9项，其中a1a91，且对每个i128，均有
禳ai1镲镲21睚ai镲镲铪1，则这样的数列的个数为__________2
二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9．（本题满分16分）给定正数x
满足S
2S
1
明：存在常数C0，使得这里S
x1x
证23，
x
匙C2
12
10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为
x2y21ab0，a2b2
A1、A2分别为椭圆的左、右顶点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点若平面中两个点Q、R满足QA1PA1QA2PA2RF1PF1RF2PF2，试
确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明11．（本题满分20分）求所有的正实数对ab，使得函数fxax2b满足：对任意实数xy，有fxyfxyfxfy
ffffffffr