清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2006年12月30日）
1求fx
ex的单调区间及极值x
2设正三角形T1边长为a，T
1是T
的中点三角形，A
为T
除去T
1后剩下三个三角形内切圆面积之和求lim
→∞
∑A
k1


k

3已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果DCB095095E094094
A090
求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率
41求三直线xy60，y
1x，y0所围成三角形上的整点个数；2
y2x12求方程组yx的整数解个数2xy60
5已知A11，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy1x0一支上1求证B、C关于直线yx对称；2求△ABC的周长
6对于集合MR，称M为开集，当且仅当P0∈M，r0，使得
2
P∈R2PP0rM判断集合xy4x2y50与xyx≥0y0是否
为开集，并证明你的结论
f2008北京大学自主招生数学试题
1求证：边长为1的正五边形对角线长为
512
B1x
12xD1x5E3
A
x
x
4C
略解：三角形ABE∽三角形DAE
x1x1x51则：x2对角线AC1x512
2
已知六边形AC1BA1CB1中AC1AB1BC1BA1CA1CB1∠A∠B∠C∠A1∠B1∠C1求证△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半
fB1
CA
P
C1
A1
B
略解：如图得证3已知
a1a2a3b1b2b3a1a2a2a3a3a1b1b2b2b3b3b1mi
a1a2a3≤mi
b1b2b3求证：maxa1a2a3≤maxb1b2b3
4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）解：设北方球队共有x支，则南方球队有x9支
2所有球队总得分为C2x9
2x92x82x9x42
南方球队总得分为
92x92x89x9x4102102x9x410
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分Cx9
北方球队内部比赛总得分Cx
2
f2x9x4xx1≥0102
解得：
11229112291116≤x≤9333
因为
2x9x4为整数10
x6或x8当x6时
2所有球队总得分为C2x9
2x92x82x9x42102
南方球队总得分为
92x92x89x9x4189102102x9x42110
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分Cx9105
北方球队内部比赛总得分Cx15
2
北方胜南方得分21156北r