零因子是解题
的关键。
5应用两个重要极限求极限
limlim【说明】两个重要极限是
si
x1和
11xe
x0x
x
x
lim例6求极限
x1x
xx1
【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出1，在凑1，最后凑x
指数部分。
【解】

x1

limlimlimx
x1xx1

x
12xx1
x
1
1

x
12

2
1
1
22x1


e2
6
f6用等价无穷小两代换求极限【说明】1）常见的等价无穷小有当x→0时，xsi
xta
xarcsi
xarcta
xl
1x）ex1，
1cosx1x2（1ax）babx，ax1xl
a（a0a1），2

1xx。
（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例
7求极限
limx0
xl
1x1cosx
limlim【解】
xl
1x
xx2
x01cosx
x01x2
2
lim例8求极限
xl
1x
x0ta
3x
limlimlimlim【解】
x0
si
xxta
3x

x0
si
xx3
x

x0
c
osx3x2
1

x0
1x223x2


16
7用洛必达法则求极限
lim例9求极限
l
cos2xl
1si
2x
x0
x2
【说明】和0型的极限，可通过洛必达法则来求。0
limlim【解】
x0
l

cos2x
l
1x2
si
2
x

x0

2si
2cosx
x

1
si
2xsi
2
x
2x
lim
x0
si
2x2x

2cos2x

1
1si
2
x


3
【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。
7
fx
例
10设函数
f

x
连续，且
f0

0
，求极限
limx0
0
x
x0
xf
tx
tdttdt
x
0xtu
x
【解】由于0fxtdtxfudu0fudu，于是
x
x
x
limx0
0x
x
x0
ttdtfxtdt

limx0
x
0
f
tdtx
x0
0tftdt
fudu
x
x

limx0

0
f

tdtxfx
fudu0
xxfxfx
x

limx0

x0
0ftdt
fuduxf
x
x
0dt
limx0

x0
x
fu
fx

f0f0f0

12
x
8用对数恒等式求limfxgx极限
例
11求极限
lim1
l
1

2
xx
x0
limlim【解】
2
1l
1xx
lim21l
1xeeeex
21l
1x
x0
x
2l
1x
limx0
x
2
x0
x0
【注】对于1形势的未定式limfxgx，也可用公式
limfxgx1elimfx1gx
因为limfxgxelimgxl
f（x）elimgxl
1f（x）1elimgxf（x）1）
lim例12求极限
1
x3
x0
12cosxx3
8
flimlim【解1】原式
xl
2cosx
e31
l
2cosx3
x0
x3
x0
x2

limx0
l
2

cosx
x2
l

3

limx0
2
1cos
2x
si

x


12
limx0
2

1cos
x

si
x
x


16
limlim【解2】原式
x0
xl
2cosx
e

3
x3
1
x0
l

2

cosx3

x2
4
limlim
l
1cosx1

3
cosx11
x0
x2
x03x2
6
四．参考文献
1极限理论httpsbaikebaiducomitemE69E81E99990E79086E8AEBA5081808fraladdi
20171124
2函数极限httpsbaikebaiducomitr