第25讲反三角函数与三角方程
本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．一．反正弦函数1．定义：函数y＝si
xx∈2，2的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsi
xx∈－1，1这个式子表示：在区间2，2内，正弦函数值为x的角就是arcsi
x，即2．反正弦函数的性质：si
arcsi
x＝x，x∈－1，1




⑴定义域为－1，1；值域为2，2．⑵在定义域上单调增；⑶是－1，1上的奇函数，即arcsi
－x＝－arcsi
x，


x∈－1，1
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⑷y＝arcsi
x的图象：与y＝si
xx∈2，2的图象关于y＝x对称．⑸arcsi
si
x的值及y＝arcsi
si
x的图象：arcsi
si
x＝x，x∈



2
，2

二．反余弦函数仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y＝cosxx∈0，的反函数就是反余弦函数，记为y＝arccosxx∈－1，1这个式子表示：在区间0，内，余弦函数值为x的角就是arccosx，即cosarccosx＝x，x∈－1，12．反余弦函数的性质：⑴定义域为－1，1；值域为0，．⑵在定义域上单调减；⑶是－1，1上的非奇非偶函数，即arccos－x＝－arccosx，x∈－1，1⑷y＝arccosx的图象：与y＝cosxx∈0，的图象关于y＝x对称．⑸arccoscosx的值及y＝arccoscosx的图象：arccoscosx＝x，x∈0，三．反正切函数1．定义：函数y＝ta
xx∈2，2的反函数就是反正切函数，记为y＝arcta
xx∈R．这个式子表示：在区间2，2内，正切函数值为x的角就是arcta
x，即2．反正切函数的性质：ta
arcta
x＝x，x∈R




⑴定义域为R；值域为，．22⑵在定义域上单调增；⑶是R上的奇函数，即arcta
－x＝－arcta
x，x∈R


⑷y＝arcta
x的图象：与y＝ta
xx∈，的图象关于y＝x对称．22


f⑸arcta
ta
x的值及y＝arcta
ta
x的图象：arcta
ta
x＝x，四．反余切函数请根据上面的内容自己写出．x∈，22


A类例题
1例1证明：⑴cosarcsi
x＝1－x2；si
arccosx＝1－x2；ta
arccotx＝x．并作它们的图象．⑵si
arcta
x＝x；ta
arcsi
x＝1＋x21；ta
arccosx＝1＋x2x；1－x21－x2．x1－x2；
cosarcta
x＝
证明：⑴设arcsi
x＝，则∈－，，且si
＝x，于是，cos＝1－x2，即cosarcsi
x＝22同理可证其余．

⑵设arcta
x＝，则∈，，ta
＝x．于是，sec＝1r