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5函数的最值
对于一次函数yfxkxb当k0时，y随着x的增大而增大，则在给定的axb上，有最
大值fb，最小值f（a）．当k0时，y随着x的增大而减小，则在给定的axb上，有最大值
fa，最小值fb．
对于二次函数yfxax2bxca0取最值的情况如下．
1．若自变量为任意实数，则有两种情况：
1当a0xb时，有2a
y最小值


4acb24a

2当a0xb时，有2a
4acb2y最大值4a
2．若自变量x的取值范围为mx
m
时，则要结合二次函数的对称轴与给定范围的三种
位置来分析：
1对于a0．
①当m
b时，因对称轴的左侧y是随x的增大而减小的，即单调递减，所以最大值为fm，2a
最小值为f
；
②当mb
时，因范围过了抛物线的对称轴，所以最小值为fb而最大值为
2a
2a
fm、f
的较大者；
③当bm
时，因对称轴的右侧y是随x的增大而增大的．即单调递增，所以最大值为f
，2a
最小值为f（m）．
2对于a0．
①当m
b时，对称轴的左侧是单调递增的，所以最大值为f
，最小值fm；2a
②当mb
时，最大值为fb最小值为fm、f
的较小者；
2a
2a
③当bm
时，对称轴的右侧是单调递减的，所以最大值为fm，最小值为f
．2a
例1设fxax11xa0求fx在0x1时的最小值g（a）．a
分析函数fx是一次函数，而ka1由于a1不知是大于O，还是小于0，故需对其进行分
a
a
段讨论，
解原函数化为fxa1x1aa
当al时，a10则函数fx为单调递增，这时fx在0x1上的最小值应在x0处取到，a
f2
即f01a
当Oal时，a10则函数fx为单调递减，这时fx在0x1上的最小值应在xl处取到，a
即f1a
当a1时，fx1是常量函数，a
所以有
ga

1a
a1
a0a1
例2已知函数fx3ax22a2x4的最大值小于1a的取值范围，2
解fx3ax22a2x4
3axa22a28a16
3a
a3
因为fx有最大值，且最大值小于1故有2
3a0

a28a16i
a3
2
解得
7a5
2
例3设m是不小于1的实数，使得关于X的方程x22m2xm23m30有两个不相等的
实数根x1、x2
1若x12x226求m的值；
2求
mx121x1

mr