费马小定理
费马小定理是数论中的一个定理假如a是一个整数p是一个质数那么是p的倍数可以表示为
如果a不是p的倍数这个定理也可以写成
这个书写方式更加常用。符号的应用请参见同余。
证明
若
不能整除abx0x
1则
也不能整除xab。取整数集A为所有小于p的集A构成p的完全剩余系即A中不存在两个数同余pB是A中所有的元素乘以a组成的集合。因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。因此
即
f在这里W123p1且Wp1因此将整个
公式除以W即得到
广义
费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况如果
和a的最大
公约数是1那么
这里φ
是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于
的自然
数中与
没有公约数的数的个数。假如
是一个素数则φ

1即费马小定理。
在费马小定理的基础上费马提出了一种测试素数的算法
尽管它是错误。
神奇的费马小定理1
从实验、观察、发现到猜想和证明
谢国芳RoyXieEmail
章节目录
1费马的惊人断言费马小定理的原始表述
f2我们的探索之旅从实验、观察、发现到猜想和证明
21费马指数和最小费马指数
22“普通版费马小定理”和“加强版费马小定理”
23对最小费马指数更深入的探究
3费马小定理的证明
1费马的惊人断言费马小定理的原始表述
十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马PierredeFermat16011665在1640年10月18日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科德贝西Fré
icledeBessyc16051675的信中写下了这样一段话原文是法语
Tout
ombrepremiermesurei
faillibleme
tu
edespuissa
ces1dequelqueprogressio
quecesoitetlexposa
tdeladitepuissa
ceestsousmultipledu
ombrepremierdo
é1
拙译“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。”
f费马的原话有点晦涩难懂把它翻译成“大白话”通用的数学语言是这样的
设a是任意一个整数1考虑以它为底的几何级数即a的各次方幂构成的数列aa2a3a4a5a6a7
费马断言给定任何一个质数p在上述数列中一定能找到一个数a
它减去1后是p的倍数并且
是p1的因子。
2我们的探索之旅从实验、观察、发现到猜想和证明
下面让我们先用实验的方法来检验费马的断言同时切身感受一下费马所揭示的神奇规律的魔力。作为好消息提前预告一声在接下来我们的实验和探索中我们将会发现比费马陈述的更多的东西最终将导出一个“升级版的”或者说“加强版的费马小定理”r