点在y轴,离心率e=,则其渐近线方程为________.5解析由已知设双曲线方程为2-2=1a0,b0.13ca+bb1692由e=,得e=2=2=1+2=5aaa25
2222
y2x2ab
b144b12∴2=,则=,a25a5
∴渐近线方程为y=±x=±5答案y=±x1210.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,点F1是另一个焦点,若∠PF1Q=90°,则双曲线的离心率等于________.解析设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,由题意知在焦点三角形F1PF2中,PF1=22c,PF2=2c,又PF1-PF2=2a,故有e=2+1答案2+1
2
ab
5x12
11.求与双曲线-=1共渐近线且过A33,-3的双曲线的方程.169解-(33)设与2-2=1共渐近线且过A33,-3的双曲线的方程为2-2=λ,则243434(-3)11x16y=λ,从而有λ=,所求双曲线的方程为-=123161199
222
x2
y2
x2
y2
x2y2
2
3
fy→212.创新拓展已知点N1,2,过点N的直线交双曲线x-=1于A、B两点,且ON=2
1→→OA+OB.21求直线AB的方程;→→2若过点N的直线交双曲线于C、D两点,且CDAB=0,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?解1由题意知直线AB的斜率存在.
2
2
设直线AB:y=kx-1+2,代入x-=12得2-kx-2k2-kx-2-k-2=0设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1、x2是方程的两根,∴2-k≠02k(2-k)且x1+x2=22-k→1→→∵ON=OA+OB,2∴N是AB的中点,∴
2222
y2
x1+x2
2
=1,
2
∴k2-k=-k+2,k=1,∴直线AB的方程为y=x+12共圆.将k=1代入方程得
x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,
∴A-1,0,B3,4.→→∵CDAB=0,∴CD垂直AB,∴CD所在直线方程为
y=-x-1+2,
4
f即y=3-x,代入双曲线方程整理得x+6x-11=0,令Cx3,y3,Dx4,y4及CD中点Mx0,y0则x3+x4=-6,x3x4=-11,∴x0=
2
x3+x4
2
=-3,y0=6,
即M-3,6.CD=1+kx3-x4=1+k
22
(x3+x4)-4x3x4
2
=410,1MC=MD=CD=210,2MA=MB=210,即A、B、C、D到M的距离相等,∴A、B、C、D四点共圆.
5
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