全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
一、选择题



1、对任意一组非负实数a1a2…a
，规定a1a
1，若有
a
2k
akak1ak21

ai
k1
i1
恒成立，则实数λ的最大值为_________
A．0
B22
C．1D．2
2、已知A，B，C为ΔABC的三个内角，记ysi
3Asi
3Bsi
3C，则y的取值范围是______。
A．0，2
B．


2
3
32


C．2，2
D．

0
3
32


3、若pq∈N且pq20070pq≤2007，pq1，则形如1的所有分数的和为pq
_________
A．2006
B．2007
C．1
D．1
2007
2008
2
4、椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，
且OPOQ，则椭圆的离心率e的取值范围是_________。
A．


52
1
1
B．0
51
2

C．


32
1
D．5151
4
4
5、若对实数x∈10∞）恒有logmx≥2，则m取值范围是_________。
A．（0，1）
B．110
C．0
10
10

D．


1010
1
1
10
6、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互
不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。
A．7B．14C．C149D．7×5！
二、填空题7、已知复数z1z2z3满足z1≤1z2≤12z3z1z2≤z1z2，则z3的最大值与最小值的差为_________。
8、已知平面向量a
3
1b

12

32

，若存在非零实数
k
和角




2

2

，使
得cata
2α3bdkata
αb，且cd，则k_________。（用α表示）9、AM为抛物线的一条弦，C为AM的中点，B在抛物线上，且BC平行于抛物线的对称
f轴，E为AC中点，DEBC，且D在抛物线上，则DE_________。BC
10、满足条件：对任意x∈R都有ffxx且ffx11x的函数fx有_________个。11、数列a
满足a11a22a
1
1a
a
1
≥2，则a
的通项公式为a
_________。12、四棱锥PABCD的底面是直角梯形，腰DA垂直于底边AB，PD是棱锥的高，PDADAB2CD1，则二面角APBC大小为_________。三、解答题13、已知a0y0，且0x2y2≤π，求证：1cosxy≥cosxcosy
14、给定
a2，数列a
定义如下：a01
a1a
a
1
a
2a
21

2a

，证明：对任何
k∈N，
有11112aa24。
a0a1
ak2
15、设抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点F作一条弦AB，设AO，BO延长线分别交准线于C，D，若四边形ABCD的面积的最小值为8，试求r