函数的奇偶性、对称性、周期性的联系
临清市第一中学杜学云贾志安
函数是高中数学的核心内容，它贯穿了整个中学数学的教学过程，同时也是学习高等数学的基础在高考中，函数的知识点占有极其重要的地位尤其函数的奇偶性、对称性、周期性是函数的基本性质，也是复习的难点、重点，更是高考的热点和重点问题本文对函数的奇偶性、对称性、周期性进行探究
性质1fx是定义在R上的函数，它的图象关于直线xa对称，则有：1fxf2ax2fxf2ax3faxfax
推论fx是定义在R上的函数，若faxfbx则函数fx的图象ab对称2
关于直线x
性质2
fx是定义在R上的函数，它的图象关于点a0对称，则有：
1fxf2ax即fxf2ax02fxf2ax即fxf2ax03faxfax即faxfax0
推论fx是定义在R上的函数，它的图象关于点ab对称，则有：1fxf2ax2b2fxf2ax2b3faxfax2b
一、【问题1】已知函数fx的图象关于直线xa对称同时关于直线xb（a≠b）对称求函数fx的一个周期
Q【解析】Qfx的图象关于直线xa对称∴fx2afx，fx的：
图象关于直线xb对称∴fx2bfx∴fx2afx2b用x代换上式中的x2a得fxfx2b2a故fx是以2b2a为一个周期的周期函数若把问题1中的条件“函数fx的图象关于直线xa对称”改为“fx是，即a0时，能否有类似的结论呢？定义在R上的偶函数”【推论】已知函数fx是定义在R上的偶函数且fx的图象关于直线
1
fxaa≠0对称，求函数fx的一个周期
【解析】Qfx是定义在R上的偶函数，∴fxfx，Qfx的图：象关于直线xaa≠0对称，∴fx2afx∴fx2afx故fx是以2a为一个周期的周期函数【问题2】函数fx的图象关于点（bc）对称且函数fx的图象关于直线xa（a≠b）对称求函数fx的一个周期
Q【解析】Qfx的图象关于直线xa对称∴f2axfx，函数fx的：
图象关于点（bc）对称∴f2axf2b2ax2c即fxf2b2ax2c用2b2ax代换上式中的x得f2b2axf4b4ax2c即
f4b4axf2axfx故fx是以4ba为一个周期的周期函数
若把问题2中的条件“函数r