2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析二
例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为x1，y1、x2，y2．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为1，3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1解析（1）抛物线的对称轴为直线x1，解析式为y（2）梯形O1A1B1C1的面积S
图2
1211xx，顶点为M（1，）．848
2x11x213x1x26，由此得到2s12111x1x22．由于y2y13，所以y2y1x2x2x12x13．整理，得384847211．x2x1x2x13．因此得到x2x1S48
当S36时，
x2x114x16解得此时点A1的坐标为（6，3）．x2x12x28
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于ta
GAF
33t20DQt，ta
PQD，所以．解得t．445t7QP5t
1
f图3
图4
考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，3和图4都是假设存在的示意图，图实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A2，4和点B1，0都在抛物线ymx22mx
上．（1）求m、
；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式r