全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：
（1）faxfaxfx关于xa轴对称（当a0时，恰好就是
偶函数）
（2）faxfbxfx关于xab轴对称
2
在已知对称轴的情况下，构造形如faxfbx的等式只需注意
两点，一是等式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；
二是ab的取值保证xab为所给对称轴即可。例如：fx关于x1轴
2
对称fxf2x，或得到f3xf1x均可，只是在求函数值方面，一侧是fx更为方便（3）fxa是偶函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于
xa轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在fxa中，
x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相
等，即fxafxa，要与以下的命题区分：若fx是偶函数，则fxafxa：fx是偶函数中的x占据整
个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
fxafxa
f全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）
②本结论也可通过图像变换来理解，fxa是偶函数，则fxa关于x0轴对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以fx关于xa对称。
3、中心对称的等价描述：
（1）faxfaxfx关于a0轴对称（当a0时，恰好就是
奇函数）
（2）
f
a

x


f
b

x

f

x

关于

a
2
b
0
轴对称
在已知对称中心的情况下，构造形如faxfbx的等式同样
需注意两点，一是等式两侧f和x前面的符号均相反；二是ab的取值
保证xab为所给对称中心即可。例如：fx关于10中心对称
2
fxf2x，或得到f3xf5x均可，同样在求函数值
方面，一侧是fx更为方便
（3）fxa是奇函数，则fxafxa，进而可得到：fx关
于a0轴对称。
①要注意奇函数r