【考点梳理】
导数与函数的单调性
函数的导数与单调性的关系
函数y＝fx在某个区间内可导，则1若f′x＞0，则fx在这个区间内单调递增；2若f′x＜0，则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0，则fx在这个区间内是常数函数．【考点突破】
考点一、判断或证明函数的单调性
【例1】已知函数fx＝x3＋ax2＋ba，b∈R．试讨论fx的单调性
解析f′x＝3x2＋2ax，令f′x＝0，
2a解得x1＝0，x2＝－3当a＝0时，因为f′x＝3x2≥0，所以函数fx
在－∞，＋∞上单调递增；当a＞0时，x∈－∞，－23a∪0，＋∞时，f′x＞0，x∈－23a，0时，f′x＜0，
f所以函数fx在－∞，－23a，0，＋∞上单调递增，在－23a，0上单调递减；
当a＜0时，x∈－∞，0∪－23a，＋∞时，f′x＞0，x∈0，－23a时，f′x＜0，
所以函数fx在－∞，0，－23a，＋∞上单调递增，在0，－23a上单调递减【类题通法】
用导数证明函数fx在a，b内的单调性的步骤1一求．求f′x；2二定．确认f′x在a，b内的符号；3三结论．作出结论：f′x＞0时为增函数；f′x＜0时为减函数．【对点训练】设函数fx＝ax2－a－l
x，gx＝1x－eex，其中a∈R，e＝2718…为自然对数的底数．1讨论fx的单调性；2证明：当x1时，gx0解析1由题意得f′x＝2ax－1x＝2axx2－1x0
f当a≤0时，f′x0，fx在0，＋∞内单调递减．
当a0时，由f′x＝0有x＝
1，2a
当x∈0，12a时，f′x0，fx单调递减；
当x∈12a，＋∞时，f′x0，fx单调递增
2证明：令sx＝ex－1－x，则s′x＝ex－1－1
当x1时，s′x0，所以ex－1x，
11从而gx＝x－ex－10
考点二、求函数的单调区间【例2】设函数fx＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R求fx的单调区间．解析由fx＝x3－ax－b，可得f′x＝3x2－a
下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′x＝3x2－a≥0恒成立，
所以fx的单调递增区间为－∞，＋∞
②当a＞0时，令f′x＝0，解得x＝
3a3或
x＝－
33a
f当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表：
x
－∞，－
33a
－
3a3
－
33a，
33a
3a3

33a，＋∞
f′x
＋
0
－
0
＋
极大
极小
fx
单调递增
单调递减
单调递增
值
值
所以fx的单调递减区间为－
3a3，
33a，单调递增区间为－∞，－
33a，
33a，＋∞r