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合同矩阵和相似矩阵
篇一:矩阵的合同等价与相似的联系与区别矩阵的合同,等价与相似的联系与区别20XX09113李娟娟
一、基本概念与性质(一)等价:1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为AB。2、矩阵等价的充要条件:AB同型,且人rArB存在可逆矩阵P和Q,使得PAQB成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。(二)合同:1、概念,两个
阶方阵AB,若存在可逆矩阵P,使得ABPTAPB成立,则称AB合同,记作AB该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件:矩阵AB均为实对称矩阵,则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。(三)相似
f1、概念:
阶方阵AB,若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP成立,则称矩阵AB相似,记为AB。2、矩阵相似的性质:ATBTAkBkA1B1前提,AB均可逆EAEB即AB有相同的特征值(反之不成立)ABrArBtrAtrB即AB的逆相等AB3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件:矩阵AB有相同的不变因子或行列式因子。②充要条件:ABEAEB二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系:设矩阵A12
,B12m1、若向量组(12m)是向量组(12
)的极大线性无关组则有m
,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型,虽然rArB但不能得出AB。2、若m
,两向量组(12
)(12m)则有矩阵AB同型且rArBABABABrArBAB。
f3、若ABrArB两向量组秩相同,两向量组等价,即有AB12
12
综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。(二)、矩阵合同。相似,等价的关系。1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系①相似等价:ABAB同型且rArBAB②合同等价:ABAB同型且rArBAB③相似与合同之间一般情况不能递推,但有一下附加条件时可以Ⅰ、若AB均为实对称矩阵,则有AB一定可以
合同于对角矩阵当AB时,EAEB二次型fxXTAX与gxXTBX有相同的标准型,即二者有相同的正负惯性指数ABAB即有ABABABⅡ、存在一个正交矩阵P,即PTPE使得PTAPB即AB则有1BPTAPPAPAB即有ABABⅢ、若AB实对称,且存在一个正交矩阵P,则AB时有ABABABⅣ、ABrArB、ABrArB、ABrArB下面讨论rArB时ABr
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