高考资源网ks5ucom
您身边的高考专家
第六届中国东南地区数学奥林匹克试题与解答
第一天
1试求满足方程x2xy126y2009的所有整数对xy
22
张鹏程供题解设整数对xy满足方程x22xy126y220090
2
…1将其看作
22
关于x的一元二次方程其判别式4y4×126y20095004y36的值
2


应为一完全平方数若y242则0若y242则y2可取0122232相应的值分别为803675366036和3536它们皆不为平方数
22222因此仅当y4时5004y366为完全平方数


若y4方程1化为x8x70解得x1或x7
2
若y4方程1化为x8x70解得x1或x7
2
综上可知满足原方程的全部整数对为xy147414742在凸五边形ABCDE中已知ABDEBCEAAB≠EA且BCDE四点共圆证明ABCD四点共圆的充分必要条件是ACAD熊斌供题证明必要性若ABCD共圆则由
BAEFHCD
ABDEBCEA得∠BAC∠EDA∠ACB∠DAE
所以∠ABC∠DEA故得ACAD充分性记BCDE所共的圆为O若ACAD则圆心O在CD的中垂线AH上设点B关于AH的对称点为F则F在
O上且因AB≠EA即DE≠DF所以EF
不共点且AFD≌ABC又由ABDEBCEA知AED≌CBA因此
AED≌DFA故由∠AED∠DFA得AEFD共圆即点A在DEF上也即点A
在
O上从而ABCD共圆
wwwks5ucom
1
版权所有高考资源网
f高考资源网ks5ucom
您身边的高考专家
3设xyz∈Raxyz
2

byzx2
czxy2
222求证abc≥2abbcca
唐立华供题证明先证abc不能构成三角形的三边因为
bcayzzxxycabzxxyyzabcxyyzzx
所以bcacababc
yzzxxyyzzxxy≤0
2
于是
2abbccaa2b2c2
abcbcacababc≤0
故
a2b2c2≥2abbcca
4在一个圆周上给定十二个红点求
的最小值使得存在以红点为顶点的
个三角形满足以红点为端点的每条弦都是其中某个三角形的一条边陶平生供题解设红点集为AA1A2LA12过点A1的弦有11条而任一个含顶点A1的三角形恰含两条过点A1的弦故这11条过点A1的弦至少要分布于6个含顶点A1的三角形中同理知过点Aii23L12的弦也各要分布于6个含顶点Ai的三角形中这样就需要12×672个三角形而每个三角形有三个顶点故都被重复计算了三次r