11
1．试证：若ft满足Fourier积分定理中的条件，则有
f
t



0
a

costd


0
b
si
td
其中a

1π


f

cosdb

1π


f

si
d

分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明
证明：利用Fourier积分的复数形式，有
f
t

12π


f


ejtejtd
1
2
1π

f

cos
jsi

d
ejtd

12


a



jb

cost

jsi
t
d
由于aabb所以
ft1acostd1bsi
td
2
2


0
a

costd


0
b


si
td
2．求下列函数的Fourier积分：
1）
f
t

10
t2t21
t21
2
f

t


0
t0
etsi
2tt0
0t1
3
f
t


11

t

0
10t1
01t
分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三
角形式解
解：1）函数
f
t

10
t2t21为连续的偶函数，其
t21
Fourier
变换为
FF

f
t


f
tejtdt

2
ftcostdt2
0
11

t
2

cos

tdt
0
fsi
t2tcost2si
tt2si
t14si
cos
2


2
3

0
3
偶函
数
ft的Fourier积分为
f
t

12π

F

e
jt
d


1π

Fcostd
0

4π

0
si

3
cos
costd
2所给函数为连续函数，其Fourier变换为
FωFftftejtdtetsi
2tejtdt

0
ete2tje2tjejtdt1e12jjte12jjtdt
0
2j
2j0
1e12jjt
e12jjt

2j

1

2j
j

1
2j
j
0

j2

1
12j

1
1
2


j


2522562
2j（实部为偶函数，虚4
数为奇函数）
ft的Fourier变换为
f
t

12π

F

e
j
t
d


12π


2522562
2j4
cost

jsi
td
1π

5

2cost2562
24
si
t
d

1π
52si
t2cost

25624
d
2π
52cost2si
t
0
25624
d
这里用到奇偶函数的积分性质3）所给函数有间断点1，0，1且ftft是奇函数，其Fourier变换为
FF

f
t



f
tejtdt

2j
0
f
tsi
tdt
f
2j
110
si
tdt

2jcos

1
（奇函数）
ft的Fourier积分为
f
t

12π

F
0

ejtd

jπ

F
0

si
td

2π

0
1
cos
si
td
其中
t
1，0，1（在间断点t0
处，右边
ft应以
f
t0
0
2
f
t0
0
代替）
3．求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：
1）ftet0证明：
0
cost22
d

π2
t
e

2）ftetcost，证明：
0
24

24
costd

π2
et
cost
3）
f
t

si

t
0
tt

ππ
，证明：

0
si

πsi
12

t
d


π2
si

t

0
tπtπ
证明：1）函数ftet为连续的偶函数，其Fourier变换为
FF
ft
etejtdt2
e


t
cos

tdt

0
etcostsi
tt
2
2
2r