岳坊中学数学教研组
分解因式之十字相乘法我们知道x2x3x25x6，反过来，就得到二次三项式x25x6的因
式分解形式，即x25x6x2x3，其中常数项6分解成23两个因数的积，
而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即62×3，且235。
一般地，由多项式乘法，xaxbx2abxab，反过来，就得到
x2abxabxaxb
这就是说，对于二次三项式x2pxq，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b
的积，并且ab等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即
x2pxqx2abxabxaxb。运用这个公式，可以把某些二次项
系数为1的二次三项式分解因式。
例1把x23x2分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而21×212，要使它们的代数和等于3，只需取12即可。
解：因为21×2，并且123，所以x23x2x1x2
例2把x27x6分解因式。
分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而61×61×62×32×3，要使它们的代数和等于7，只需取1，6即可。
解：因为61×6，并且167，所以
x27x6x1x6x1x6
例4把x22x15分解因式。
解：因为153×5，并且352，所以
x22x15
x3x5x3x5
通过例14可以看出，把x2pxq分解因式时：
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p
的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一
次项系数p的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。例5把下列各式分解因式：
1x46x28
2ab24ab3
解：1x46x28
x226x28x22x24x22x24
2ab24ab3ab1ab3ab1ab3
例3把x24x21分解因式。
分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，21可以分解成211×211×213×73×7，其中只需取3与7，其和37等于一次项的系数4。
解：x24x21
x3x7x3x7
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例6把x23xy2y2分解因式。分析：把x23xy2y2看成x的二次三项式，这时，常数项是2y2，一次项系数是
3y，把2y2分解成y与2y的积，y2y3y正好等于一次项的系数。
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解：x23xy2y2x23yx2y2
xyx2y
我们知道，x23x53x211x10。反过来就得到3x211x10的因式
分解的形式，即3x211x10x23x5。
我们发现，二次项的系数3分解成13两个因数的积；常数项10分解成25两个因数的
积；当我们把13，25r