第5讲
导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题
一、选择题12015安徽卷函数fx＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是
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Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0解析由已知f0＝d0，可排除D；其导函数f′x＝3ax＋2bx＋c且f′0＝c0，可排除B；又f′x＝0有两不等实根，且x1x2＝＞0，所以a＞0，故选A3a答案A1322已知函数fx＝x－2x＋3m，x∈0，＋∞，若fx＋5≥0恒成立，则实数m的取值范3围是
2
c
17A，＋∞9
C－∞，2解析f′x＝x－4x，由f′x＞0，得x＞4或x＜0
2
17B，＋∞9
D－∞，2
∴fx在0，4上单调递减，在4，＋∞上单调递增，∴当x∈0，＋∞时，fxmi
＝f417∴要使fx＋5≥0恒成立，只需f4＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥9答案A3若存在正数x使2x－a＜1成立，则a的取值范围是A－∞，＋∞C0，＋∞解析∵2x－a＜1，1∴a＞x－x21令fx＝x－x，2∴f′x＝1＋2l
2＞0
1
－x
x

B－2，＋∞D－1，＋∞
x
f∴fx在0，＋∞上单调递增，∴fx＞f0＝0－1＝－1，∴a的取值范围为－1，＋∞，故选D答案D4当x∈－2，1时，不等式ax－x＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是A－5，－3C－6，－29B－6，－8D－4，－3
32

32111解析当x∈0，1时，得a≥－3－4＋，xx


x
132令t＝，则t∈1，＋∞，a≥－3t－4t＋t，
x
令gt＝－3t－4t＋t，t∈1，＋∞，则g′t＝－9t－8t＋1＝－t＋19t－1，显然在1，＋∞上，g′t＜0，gt单调递减，所以gtmax＝g1＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈－2，0时，得a≤－2由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立故实数a的取值范围为－6，－2答案C52015长沙模拟已知fx是定义在0，＋∞上的非负可导函数，且满足xf′x＋
3
2
2
fx≤0，对任意的0ab，则必有
Aafb≤bfaCafa≤fb
Bbfa≤afbDbfb≤fa
解析因为xf′x≤－fx，fx≥0，所以
f（x）′＝xf′（x）－f（x）≤－2f（x）≤0，x2x2x
f（x）在0，＋∞上单调递减xf（a）f（b）≥，ab
则函数
由于0ab，则
即afb≤bfa答案A二、填空题62015合肥模拟设函数fx＝ax－3x＋1x∈R，若对于任意x∈－1，1，都有fx≥0成立，则实数a的值为________解析若x＝0，则不论a取何值，fx≥0显然成立；
3
2
f当x＞0时，即x∈0，1时，fxr