第二章变分原理
变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。变分法的早期思想是Joha
Ber
oulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagra
ge于1762年共同奠基的，我们称之为EulerLagra
ge变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Helli
ger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reiss
er发表了与Helli
ger相类似的工作，此工作被称之为Helli
gerReiss
er变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎Washizu于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagra
ger乘子构造广义分原理的方法。1964年Gurti
提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者To
ti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。
§21
历史上著名的变分法命题
历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题
1695年，Ber
oulli以公开信方式提出了最速降线命题。如图21所示，设有不在同一垂线上的A、B两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB光滑下滑的时间最短。设A点与坐标原点O重合，B点的坐标为x1y1，滑体质量为m，从O点下滑至P点时的速度为v，根据能量恒原理，有：
mgy
12mv2vds2gydt
21图21最速降线图22
用s表示弧长，则沿弧切向方向的速度为：
曲线弧长为：
dydsdxdy1dxdx
22
2
23
于是，时间为：
ds1ydtdxv2gy

2
24
f下降时间为：
Tdt
0
T
x1
0
1ydx2gy

2
25
经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：
x
Csi
2Cy1cos2
26
2、短程线命题设xyz0是如图22所示的曲面，在此曲面上有A、B两点，试问如何连接可使此曲面上A、B两点间的距离最短。设A点的坐标为Ax1y1z1、B点的坐标为
22
Bx2y2z2，在曲面上A、B两点的曲线长度为：
Lr