20082009学年第一学期《高等数学》期中试卷解答
一、填空题（每小题4分，共24分）1、
1310
3
；2、；3、e
3
1

12
；4、a
1，b
12
；5、
1；6、
23l
33
。
二、单项选择题（每小题4分，共24分）1、D；2、C；3、A；4、B；5、A；6、C。三、计算题：（每小题4分，共12分）1、解：y100
1009910099982xsi
xπ1002xsi
xπ2si
xπ2222
xsi
x20x0
2
coxs
990xsi
0
fx
2、解：dy
dfl
xe
fx
f
l
xde
fx
fl
xdl
x
1x
ffl
xex
e
f
lx
l
x
fx
e
fd

x
dx
dx
f
f
fx
ef
f
x
1ffl
xex
x

l
x
fx
e
x
dx
e
fx

1fl
xfx
l
x
fxdx
3、解：lim
e
ta
x
e1cos2x
x
x0
ta
xxl
1xarcsi
2x
x2
lim
ee
x
ta
xx
11cos2x
x0
ta
xxl
1xarcsi
2x
eta
xxlimx0taxxx

2x2x

1
四、证明题（A型题满分40分，B型题满分28分）（以下每一题中设有A型题和B型题，只需选定其中的一类题做）1．证明：
14x
2
2x1
2
14x4x2
2
2x1

14x4x2
2
2x1
12
2x1
对于任意给定的
0
，取


2
，当0
x

时，有
1
f14x
2
2x1
14x
12
22x1
。
2
故
lim
x
2x1
2
。
B5分证明：
3
14
23412
412
644
212
412
644
2542
1
，
对于任意给定的
3
14
234
0
，取N，

12

58
，当
N
时，有

从而lim
3
14
2



34
。
x13x
1x
3x
12
2．A8分设0限。
，证明数列x
的极限存在，并求此极
证明：容易看出，x
x
1
0
12
12
，于是，
x
3x

x

3x


32

12
，
又
x
1x


3x

1
211
23
，因此，从第二项开始，数列x
为单调增加且有上界
的数列，因此，极限lim假设lim
x
a


x
极限存在。


，由x
1

x
3x

两边取极限，可得
a
a3r