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第4讲定积分与微积分的基本定理
★知识梳理★
1、定积分概念、定积分定义：如果函数
fx在区间ab上连续，用分点
ax0x1x2xi1xix
b，将区间ab等分成几个小区间，在每一个小
区间xi1xi上任取一点ξii12
，作和fξixi
∑
i1


bafξi，当
→∞时，

上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数fx在区间ab上的定积分，记作
xi1xi
∫
ba
fxdx，即∫bfxdxlim∑a
→∞i1


bafξi，这里a、b分别叫做积分的下限与

上限，区间ab叫做积分区间，函数fx叫做被积函数，x叫做积分变量，fxdx叫做被积式2、定积分性质、（1）（2）（3）
∫
∫∫
babaca
kfxdxk∫fxdx；
a
b
f1x±f2xdx∫bf1xdx±∫bf2xdxaa
fxdx∫bfxdx∫bfxdxacbca
3、微积分基本定理、一般地，如果fx是在ab上有定义的连续函数，fx是在ab上可微，并且
Fxfx，则∫bfxdxFbFa，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿a

莱布尼兹公式，为了方便，常常把FbFa，记作Fxa，即
b
∫
ba
fxdxFxbFbFaa
4．、常见求定积分的公式（1）（3）（5）
∫∫∫
bababa
x
dx
1
1bxa
≠1
1
（2）（4）（6）
∫∫∫
bababa
cdxcxb（C为常数）acosxdxsi
xbaexdxexba
si
xdxcosxba1dxl
xbba0axaxdxaxbaa0且a≠1l
a
（7）
∫
ba
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★重难点突破★1重点1重点：定积分的计算和简单应用。重点2难点难点：2难点：利用定积分求平面区域围成的面积3重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面重难点：重难点积（1）弄清定积分与导数之间的关系问题1一物体按规律xbt做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与
3
速度的平方成正比（比例常数为k0），试求物体由x0运动到xa时，阻力所做的功解析：解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称x的变化函数fx，这里的变力即媒质阻力Fxkv2kx′2，然后根据定积分可求阻力所做之功解因为物体的速度vx′bt3′3bt2所以媒质阻力F阻力kv9kbt
224
当x0时，t0，当xa时，abt，t1
3
3
ab
∴阻力Fx所做功wr