近世代数习题解答第一章基本概念
1集合
1BA但B不是A的真子集这个情况什么时候才能出现解只有在AB时才能出现题中说述情况证明如下当AB但B不是A的真子集可知凡是属于A而aB显然矛盾若BA但B不是A的真子集可知凡属于A的元不可能属于B故AB2假定ABABA∩B解此时A∩BA这是因为A∩BA及由AB得AA∩BA故ABAABB及由AB得ABB故ABB
2映射
1A23，找一个AA到A的映射1100解此时1a1a21
a1a2A
2a1a2a1
易证12都是AA到A的映射
2在你为习题1所找到的映射之下是不是A的每一个元都是AA到A的一个元的的象解容易说明在1之下有A的元不是AA的任何元的象容易验证在2之下A的每个元都是AA的象
3代数运算
1A所有不等于零的偶数找到一个集合D使得普通除法是AA到D的代数运算是不是找的到这样的D解取D为全体有理数集易见普通除法是AA到D的代数运算同时说明这样的D不只一个2Aabc规定A的两个不同的代数运算解aababbcbccaaaabaca
1
fc
c
a
b
bc
da
aa
aa
4
解
结合律
a这个代数运算适合不适合结合律b
1A所有不等于零的实数是普通除法ab这个代数运算不适合结合律
112
12
1122从而
112112
2A所有实数解
aba2bab这个代数运算适合不适合结合律
这个代数运算不适合结合律
abca2b2cabca2b4cabcabc
3Aabc由表aabcbccaabc除非c0
abbc
所给的代数运算适合不适合结合律解经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律
5交换律
1A所有实数是普通减法abab这个代数运算适合不适合交换律解一般地abba除非ab
2Aabcd由表aabcdabcdbbdacccabaddcdb
所给出代数运算适合不适合交换律解
cdd
dca
2
f从而cddc故所给的代数运算不适合交换律
6分配律
假定是A的两个代数运算并且适合结合律
适合两个分配律证明
a1b1a1b2a2b1a2b2a1b1a2b1a1b2a2b2
证a1b1a1r