第7节利用空间向量解决探索性问题【基础知识】假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点G的坐标，借助向量运算，判定关于P点的方程是否有解．【规律技巧】对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：1根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
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【典例讲解】【例1】在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，
E，F分别是AB，PB的中点．1求证：EF⊥CD；2在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB若存在，求出点G坐标；若不存
在，试说明理由．
【变式探究】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，PE＝2ED
1求证：PA⊥平面ABCD；2在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．1证明∵PA＝AD＝1，PD＝2，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD
【针对训练】1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存
在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
f2如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBADPAAD2ABBC1
2（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
【答案】（1）3（2）25
3
5
【练习巩固】
1．（2015秋晋城期末）如图甲，⊙O的直径AB2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠
CAB，∠DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC
的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求点D到平面ABC的距离；
（2）如图：若∠DOB的平分线交弧于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．
f【答案】（1）．（2）FG∥面ACD．见解析
【解析】试题分析：（1）由已知推导出DE⊥AO，DE⊥面ABC，从而DE即为点D到ABC的距离，由此能求出点D到面ABC的距离．（2）连结OF，则FO∥AC，从而FO∥面ACD，令OG交DB于M，连结MF，则MF∥CD，由此能推导出FG∥面ACD．
解：（1）△ADO中，AODO，且
，∴AODOAD．
又E是AO的中点，∴DE⊥AO．又∵面ABC⊥面AOD，且ABC∩面AODAO，DE面AOD，∴DE⊥面ABC．∴DE即为点D到ABC的距离．
又DE，AO
．
∴点D到面ABC的r