2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析三例5如图1，抛物线经过点A4，0、B（1，0、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

图1解析（1）因为抛物线与x轴交于A4，0、B（1，0两点，设抛物线的解析式为
1，解得a．所以抛物线的解析式为yax1x4，代入点C的坐标（0，－2）21125yx1x4xx2．2221（2）设点P的坐标为xx1x4．21①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PMx1x4，AM4x．21x1x4AMAO如果2，那么22．解得x5不合题意．PMCO4x1x1x4AMAO11如果，那么2．解得x2．PMCO24x2
此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM
1x1x4，AMx4．2
1x1x4解方程22，得x5．此时点P的坐标为52．x41x1x412解方程，得x2不合题意．x42
1
f③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM
1x1x4，AM4x．2
1x1x42解方程2，得x3．此时点P的坐标为314．4x1x1x41解方程2，得x0．此时点P与点O重合，不合题意．4x2
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或314或52．
图2
图3
图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y设点D的横坐标为m1m4，那么点D的坐标为m
1x2．2
125mm2，点E的坐221125112标为mm2．所以DEmm2m2m2m．2222211222因此SDACm2m4m4mm24．22当m2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
2
f设点D的横坐标为（m，
）1m4，那么
1112
24m
2
4mm2
4．222152由于
m2m2r