第四讲一元一次方程
方程是中学数学中最重要的内容最简单的方程是一元一次方程它是进一步学习代数方程的基础很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧
用等号连结两个代数式的式子叫等式如果给等式中的文字代以任何数值等式都成立这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的
如果给等式中的文字未知数代以某些值等式成立而代以其他的值则等式不成立这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集
只含有一个未知数又称为一元且其次数是1的方程叫作一元一次方程任何一个一元一次方程总可以化为axba≠0的形式这是一元一次方程的标准形式最简形式解一元一次方程的一般步骤1去分母2去括号3移项4合并同类项化为最简形式axb5方程两边同除以未知数的系数得出方程的解一元一次方程axb的解由ab的取值来确定
2若a0且b0方程变为0x0则方程有无数多个解
3若a0且b≠0方程变为0xb则方程无解例1解方程
解法1从里到外逐级去括号去小括号得
f去中括号得
去大括号得
解法2按照分配律由外及里去括号去大括号得
化简为
去中括号得
f去小括号得
例2已知下面两个方程
3x25x①4x3ax6x7ax②有相同的解试求a的值分析本题解题思路是从方程①中求出x的值代入方程②求出a的值解由方程①可求得3x5x6所以x3由已知x3也是方程②的解根据方程解的定义把x3代入方程②时应有
4×33a36×37a3
7a33a31812
例3已知方程2x13x1的解为a2求方程22x33xa3a的解
f解由方程2x13x1解得x5由题设知a25所以a3于是有
22x33x33×32x21
例4解关于x的方程mx
m
0分析这个方程中未知数是xm
是可以取不同实数值的常数因此需要讨论m
取不同值时方程解的情况
解把原方程化为m2xm
xm
20整理得mm
x
m

当m
≠0且m0时方程无解当m
0时方程的解为一切实数说明含有字母系数的方程一定要注意字母的取值范围解这类方程时需要从方程有唯一解无解无数多个解三种情况进行讨论
例5解方程axbabxa2xb2xa2b2分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项但整理化简后可以消去x2也就是说原方程实际上仍是一个一元一次方程
解将原方程整理化简得
fab2x2a2b2a2xb2xx2a2b2即a2b2xab21当a2b2≠0时r