基本不等式专题辅导
一、知识点总结1、基本不等式原始形式
（1）若abR，则a2b22ab
（2）若abR，则aba2b2
2
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若abR，则ab2ab
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若abR，则abab2
（2）若abR，则abab22
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若x0，则x12当且仅当x1时取“”）x
（2）若x0，则x12当且仅当x1时取“”）x
（3）若ab0，则ab2当且仅当ab时取“”）
ba
（4）若abR，则abab2a2b2
2
2
（5）若abR，则1
11
abab2
a2b22
ab
特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“”
6、柯西不等式
（1）若abcdR，则a2b2c2d2acbd2
（2）若a1a2a3b1b2b3R，则有：a12a22a321b12b22b32a1b1a2b2a3b32（3）设a1a2a
与b1b2b
是两组实数，则有a12a22a
2b12b22b
2a1b1a2b2a
b
2
二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设ab均为正数，证明不等式ab≥211ab
2、已知abc为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca
3、已知abc1，求证：a2b2c213
4、已知abcR，且abc1，求证：1a1b1c8abc
已知
ab
c

R
，且
a

b

c
1，求证：

1a
1

1b
1

1c
1

8
6、选修45：不等式选讲
设abc均为正数且abc1证明Ⅰabbcca1Ⅱa2b2c21
3
bca
7、选修45：不等式选讲：已知ab0，求证2a3b32ab2a2b
题型二：利用不等式求函数值域
f1、求下列函数的值域
（1）
y

3x2

12x2
（2）yx4x
（3）yx1x0x
题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）
1、已知x2，求函数y2x44的最小值；2x4
变式1：已知x2，求函数y2x4的最小值；2x4
变式2：已知x2，求函数y2x4的最大值；2x4
练习：1、已知x5，求函数y4x21的最小值；
4
4x5
2、已知
x

54
，求函数
y

4x

2

14x
5
的最大值；
题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）
1、当
时，求yx82x的最大值；
变式1：当
时，求y4x82x的最大值；
变式2：设0x3，求函数y4x32x的最大值。2
2、若0x2，求yx63x的最大值；
（4）yx1x0x
变式：若0x4，求yx82x的最大值；
3、求函数y2x152x1x5r