；2若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解1由2cos
2
A
＋cosA＝0，2
得1＋cosA＋cosA＝0，1即cosA＝－，22π∵0＜A＜π，∴A＝32由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝
则a＝b＋c－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝4－bc，则bc＝4，
222
2π，3
5
f1故S△ABC＝bcsi
A＝32考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在△ABC中，若a＋bsi
A－B＝a－bsi
C，试判断△ABC的形状．审题视点首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知a＋bsi
A－B＝a－bsi
C，得bsi
A－B＋si
C＝asi
C－si
A－B，即bsi
AcosB＝acosAsi
B，即si
Bsi
AcosB＝si
AcosBsi
B，所以si
2B＝si
2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，π即A＝B或A＋B＝2故△ABC为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC中，若＝＝；则△ABC是cosAcosBcosCA．直角三角形C．钝角三角形B．等边三角形D．等腰直角三角形
22222222222222
a
b
c
．
解析由正弦定理得a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
CR为△ABC外接圆半径．si
Asi
Bsi
C∴＝＝cosAcosBcosC即ta
A＝ta
B＝ta
C，∴A＝B＝C答案B考向三正、余弦定理的综合应用π【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝31若△ABC的面积等于3，求a，b；2若si
C＋si
B－A＝2si
2A，求△ABC的面积．审题视点第1问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第2问根据si
C＋si
B－A＝2si
2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．
6
f解1由余弦定理及已知条件，得a＋b－ab＝4
a＋b－ab＝4，1又因为△ABC的面积等于3，所以absi
C＝3，ab＝4，得联立方程组2ab＝4，
22
2
2
解得
a＝2，b＝2
2由题意，得si
B＋A＋si
B－A＝4si
AcosA，即si
BcosA＝2si
AcosAππ当cosA＝0，即A＝时，B＝，26
a＝
4323，b＝；33
当cosA≠0时，得si
B＝2si
A，由正弦定理，得b＝2a
a＋b－ab＝4，联立方程组b＝2a，
22
a＝233，解得b＝433
123所以△ABC的面积S＝absi
C＝23正弦定理、余弦定理、三角形r