2011年清华等五校联考（华约）自主招生数学试卷
1设
N，
15集合A、B都是I12
的真子集，AB，ABI

证明：集合A或B中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数
2设fxaxbxxa0，方程fxx的两个根是x1和x2，且x10，
2
x2x1
1，又0tx1试比较ft与x1的大小a
3求函数fxmaxx1x5的最小值，并求出相应的x的值
2


4已知fx是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的abR，有
fabafb
bfa
（1）求f0，f1的值；（2）判定函数fx的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f22，u

f2


N，求数列u的前
项和S





f5已知关于x的方程ax1a1x
22

2
负根比1大，a1证明方程的正跟比1小，
6设a，b是两个正数，且ab当xab时，yx24x6的最小值为a，最大值为b，求a，b值
7某生产队想筑一面积为144m的长方形围栏，围栏一边靠墙现有铁丝网50m，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
2
f8在正方形ABCD中，过一个顶点D作对角线CA的平行线DE，CC若EA边DA于点F求证：AEAF
，CE交且
9设ABC的重心为G，外心为O，外接圆半径为r，OGd，BCa，CAb，
ABc求证：a2b2c29r2d2
10设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为31，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线lx2y0的距离最小的圆的方程
f11以A为圆心，以2cos0

2
为半径的圆外有一点B已知AB2si
，设过
B且与圆A外切于点C的圆的圆心为M（1）当取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线？
（2）M是轨迹P上的动点，N是圆A上的动点，MN的最小值为f点点记的取值范围
求f
12设数列a
的前
项和为S
，点
（1）求数列a
的通项公式；（2）设b

S
N均在函数y3x2的图像上

m3，T
数列b
的前
项和，求最小正整数m，使得T
对所有20a
a
1

N都成立
f13已知函数fx2x4，S
fff，
12若不等式
1

2



a
a
1恒成立，求实数a的取值范围r