时，所以在t∈0时刻，611
πt和β2πt此时，时针和分针两针尖的位置分别为6
ππAasi
tacostB2asi
2πt2acos2πt故AB之间的距离为66ππ11π6S2asi
2πtasi
t22acos2πtacost2a54costt∈066611两针尖分离的速度为
11π11π211πt2cost5cost26121π26666t∈0v′t∈011181111π11π354cost54cost6622令v′0解得驻点t即在小时后两针尖分离的速度最大，即从重合开始经过10分5454秒1111两针尖分离速度最大11πavS′3si

七10分设二元函数fxy有一阶连续偏导数且f01f10证明在单位圆周x2y21上至少存在两个不同的点满足方程yffxxy
证
令Fθfcosθsi
θ则在区间02π上Fθ可导且F0FπF2π由罗尔定理知至
2
少存在两个不同的点ξη∈02π使得F′ξF′η0而F′θsi
θfxcosθsi
θcosθfycosθsi
θ将ξη代入上式即得结论
以下两题乙组考生不做
八10分设整数
1，求证：
111112
ee
e


证
先证不等式111
111l
1110
e
e


设fx1xl
1xx
x∈01f′xl
1x0x∈01
3
f所以fx在01上单增f00当x∈01时fx1xl
1xx0故再证不等式
1111f1l
10


11111111
l
1l
102
ee
2

设fxxl
1xl
1xxx∈012xx11x∈01f′xl
122x1x
f′′x121xx25x502x2x21x22x21x2x∈01
所以f′x在01上单增f′00当x∈01时f′xl
1xx110
22x1x
x所以fx在01上单增f00当x∈01时fxxl
1l
1xx0211111故fl
1l
10
2

九10分设函数fx在闭区间01上连续且fx1ab∈01都有
∫0fxdx0证明对于任意的
1
∫a
b
fxdx≤
1成立2
证
不妨假设ab
1则21则2
若ba≤
∫afxdx
b
1fξba≤2
若ba
∫a
b
fxdx≤
∫0
a
fxdx
∫b
1
fxdxfξafη1b≤1ba
12
4
fr