13正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、设随机变量X服从正态分布N122，求（1）P16X58；（2）PX456．
解：1P16X58P26X148P13X1242
Φ0124Φ0113Φ01241Φ011309918109032089502PX4561PX4561P278X1178
21Φ01178Φ012781Φ011781Φ012782096250997300402
二、已知某种机械零件的直径X（mm）服从正态分布N100062．规定直径在10012（mm）
之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．
解：设p表示这种机械零件的不合格品率，则pPX100121PX10012．
而PX10012P12X10012P2X1002
060606
06
22212221
209772109544故p10954400456．
三、测量到某一目标的距离时发生的误差Xm具有概率密度
fx
1
x202
e3200
402
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率．
解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
D第一次ξ30第二次ξ30第三次ξ30
因为ξN20402，所以由事件的相互独立性，有
PDPξ303Pξ30ξ303Φ011251Φ010253205987089443050693013025
于是有
P三次测量中至少有一次绝对值30米1PD1013025086975．
四、设随机变量XN2，求随机变量函数YeX的概率密度（所得的概率分布称为对
数正态分布）．
解：由题设，知X的概率密度为
fXx
1
x2
e22
2
x
从而可得随机变量Y的分布函数为
FYyPYyPeXy．
当y0时，有FYy0；此时亦有FYy0．
12
f当y0时，有
FYyPXl
y
1
x2
l
y
e
22
dx．
2
此时亦有FYy
1
l
y2
e22．
2y
从而可得随机变量Y的概率密度为
0
fY

y




1
l
y2
e22
2y
y0y0
五、设随机变量
X
与Y
独立，
X

N1


21

，
Y

N
2


22

，求：
1随机变量函数Z1aXbY的数学期望与方差，其中a及b为常数；
2随机变量函数Z2XY的数学期望与方差．
解：由题设，有
EX



1

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