圆锥曲线硬解定理
介绍：圆锥曲线硬解定理，又称CGYEH定理或JZQEH定理，其是一套求解椭
圆双曲线与直线相交时x1x2x1x2及相交弦长的简便算法。
定理简介：在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但
其一般化的推导结果不具有普适性且一直无法用一个简洁的形式表示。由CGY2010以椭圆曲线推导重新排列分组形式并引入ε从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解从而奠定了CGYEH定理强大的通用性与普适性。
定理内容
若曲线x2y21与直线AxByC0相交于E、F两点则m

2ACm
x1x2
mC2B2

x1x2

m
C2
其中


A2m

B2

，
为一与
同号的值，


14B2

定理说明
2A2B2
EF
应用该定理于椭圆
x2a2

y2b2
1时应将
ma2




b2
代入。
应用于双曲线
x2a2

y2b2

1
时应将
ma2



b2
代入同时A2mB2
不应为零即不
为零。

求解
y1

y2

y1y2
既是求解

x2y21m

，只须将A与B的值互换且m与
的值
AxByC0
互换，可知与的值不会因此而改变。
定理补充
联立曲线方程与ykx是现行高考中比联立”AxByC0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1x2，x1x2都可以直接通过该方
程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGYEH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
f若曲线x2y21与直线ykx相交于E、F两点则m
4m
mk22
这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：
若曲线
x2m

y2

1为椭圆
x2a2

y2b2
1则
4a2b2b2a2k22
若曲线
x2m

y2

1为双曲线
x2a2

y2b2
1则
4a2b2b2a2k22
由于在高考中CGYEH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分：
联立两方程得……（二次式子）
所以x1x2……①，x1x2……②；
所以x1x2x1x224x1x2……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不
必化简）
化简得
x1x2


mk2
偷偷地直接套公式，不必真化简
下面就可求弦长l1k2x1x2了。
定理简证
设曲线x2y21①与直线AxByC0②相交于E、F两点，联立①②式可得m
最终的二次方程：
A2mB2
x22ACmxC2mm
B20应用韦达定理，可得
2ACmx1x2A2mB2

x1x2

C2mm
B2A2mB2

4m
B2C2
f对于等价的一元二次方程的数值不唯一且的意义仅在于其与零的关系故由
4B20恒成立则可取与同号的m
B2C2作为的值
由EFr