第一章数与计算
第一单元同余问题
1．知识前提。（1）整除：如果整数a除以自然数b所得的商恰好是整数而没有余数余数是0我们就称a能被b整除或b能整除
a。
（2）乘方的意义：求
个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
个相同因数a相乘，即aaa，
个a
记做a
。其中a叫做底，
叫做指数，a
读做a的
次方。
（3）幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即
ama
am
。
②幂的乘方，底数不变，指数相乘。即
a
ma
m。
③积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即
ab
a
b
。
2．同余如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为ah（modm）。
我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。3．规律、方法应用。（1）反身性规律：a和a对于m同余。（2）对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。（3）传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。（4）同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，
ac和bd对于m同余。
（5）同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么a
和b
也对于m同余。
（6）同余的连加规律：a1和b1对于m同余，a2和b2对于m同余，a3和b3对于m同余……a
和b
对于m同余，那
么a1a2a3a
和b1b2b3b
也对于m同余。
例1．有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一如果某数除49222413195都余15那么这个数是几拓展二自然数165201490314177除以m的余数相同m的最大值是多少拓展三若2836458251646522这4个数被同一个数相除所得的余数相同且为两位数则除数和余数的和为多少
例2．求200359除以7的余数。拓展一求189除以13的余数。
1
f拓展二求281432338752413289786除以11的余数。拓展三求112233445566778899的结果除以3的余数。拓展四把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个A1234200020012002试求A除以9的余数。例3．10100被7除的余数是多少？
拓展一21000除以13的余数是多少？
拓展二今天是星期日，过21991天是星期几？
拓展三求7355的末两位数是多少？
拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）r