第四讲：基本不等式与不等式证明
一、常用的基本不等式有以下这些：
（）a、bRa2b22ab当且仅当ab时取“”号；1ab（2）a、bR，ab，当且仅当ab时，取“”号；2（3）a、bR，ab
2
，当且仅当ab时，取“”号；2（4）a、b、cR，a3b3c33abc，当且仅当abc时，取“”号；
2
ab
2
abc3（5）a、b、cR，abc，当且仅当abc时取“”号。3推广到
aaa
a1a2a
R，12a1a2a
，
当且仅当a1a2a
时取“”号。
二、证明不等式常用的方法有比较法、公式法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数形结合法以及数学归纳法等。例题1、若0ab1则aaa
abab
a
ab2
中最小的数是______
例题2、如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么（Ａ．ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Ｂ．ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Ｃ．ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一Ｄ．ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
）
例题3、（1）已知xR求
x216x24
的最小值。
1
f（2）函数ya上，则
1x
a0，a1的图象恒过定点A，若点A在直线mx
y10m
0
．
11的最小值为m

（3）（09全国高考题）若

4
x

2
，则函数yta
2xta
x的最大值为
3
。
例题4、已知a、b为两个正常数，x0y0且
ab1求xy的最小值xy
例题5、某种汽车，（1）购买时费用为10万元，（2）每年交保险费、养路费、汽油费合计9千元；（3）汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列，逐年递增，求这种汽车使用多少年报废最合算？
例题6、若对一切abc不等式
11
恒成立求
的最大值abbcac
2
f例题7、求证：si
si
1si
si
si
si
，并指出等号成立的条件。
22
例题8、已知：a1、a2、a3、b1、b2、b3均为正数，且
a1a2a3，求证：b1b2b3
a1a2a1a2a3b1b2b1b2b3
例题9、设0a10b10c1证明1ab1bc1ca不能都大于
14
例题10、设a0b0且ab1求证a
11b222
例题11、已知命题：如果a、bR且ab1，那么1证明这个命题是真命题
1a
14b
2根据已知条件还能得到什么新的不等式试写出其中两个，并加以证明3如r